A cura di: Stefano Sannella
Si risolva la disequazione che segue
$1/sqrt(sinx+2)+1/(sinx+cosec(pi/6))>0$
Calcoliamo il valore della cotangente
$cot(pi/6)=1/(sin(pi/6))=frac{1}{1/2}=2$
Perciò si ha
$1/sqrt(sinx+2)+1/(sinx+2)>0$
Poniamo
$sqrt(sinx+2)=t$
e otteniamo
$1/t+1/t^2>0$
ovvero
$frac{t+1}{t^2}>0$
Possiamo limitarci a risolvere
$t+1>0$
poichè
$t^2>0$
Inoltre non c’è nemmeno bisogno di considerare il caso in cui il denominatore si annulla: infatti
$sqrt(sinx+2)>0$ perchè il valore minimo del seno $-1$ e quindi si avrebbe al peggio $sqrt(-1+2)=sqrt(1)$ che è maggiore di zero.
Andando avanti, si giunge a
$t> -1$
ovvero
$sqrt(sinx+2)> -1$
In base alle considerazioni precedenti, possiamo dire che la disequazione è sempre verificata, perchè il radicale ha sempre radicando positivo (è sempre definito quindi) e inoltre è sempre positivo, per cui maggiore di un negativo ($-1$ nel nostro caso).
Perciò possiamo scrivere che la disequazione è vera
$forallx inRR$
Fine
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