A cura di: Stefano Sannella
Si risolva la seguente disequazione
$(2x+5)/(1-4x^2)-(x+2)/(4x^2-4x+1)<=3/(2x+1)$
Iniziamo con il fattorizzare i denominatori delle frazioni, poichè sappiamo che in seguito dovremo eseguire il calcolo del minimo comun denominatore. Si avrà
$(2x+5)/((1-2x)(1+2x))-(x+2)/((1-2x)^2)<=3/(1+2x)$
e portando al primo membro la frazione che sta al secondo, otteniamo
$(2x+5)/((1-2x)(1+2x))-(x+2)/((1-2x)^2)-3/(1+2x)<=0$
Il minimo comun denominatore risulta essere
$(1-2x)^2*(1+2x)$
Riconducendo il tutto ad un’unica frazione, otterremo dunque
$((2x+5)(1-2x)-(x+2)(1+2x)-3(1-2x)^2)/((1-2x)^2*(1+2x))<=0$
Ovvero
$(-18x^2-x)/((1-2x)^2*(1+2x))<=0$
Ora nel denominatore $(1-2x)^2>0 AA x in RR -{1/2}$ poichè è un quadrato e non influisce sul segno, per cui discutiamo solo la disequazione
$(-18x^2-x)/(2x+1)<=0$
Andiamo a trovare le radici di numeratore e denominatore, e di conseguenza la loro positività e negatività
$(-18x^2-x)>=0$
Moltiplicando ambo i membri per $-1$ e cambiando verso alla disequazione
$(18x^2+x)<=0$
ovvero
$-1/18<=x<=0$
Infine
$2x+1>0$ $<=>$ $x> -1/2$
Vedendo i punti in cui la disequazione assume valore $<=0$, in un oppurtuno grafico dove sono riporati gli intervalli si ricava:
$-1/2<x<=-1/18$ U $0<=x<1/2$ U $x>1/2$
I due intervalli $0<=x<1/2$ U $x>1/2$ non possone essere uniti perchè per $x=1/2$ non ha senso la disequazione.
FINE
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