A cura di: Stefano Sannella
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Abbiamo una carrucola a forma di disco con raggio $r$ e massa $M_c$, con avvolta una fune.
Tiriamo verso il basso un estremità della fune con una forza di $F$. All’ altra estremità della corda è attaccata una massa di $m$.
Si trovi il modulo delle forze che agiscono sul sistema, l’accelerazione angolare del disco e l’accelerazione della massa attaccata.
Il momento di inerzia vale $1/2M_cr^2$
Osserviamo la figura.
Le due forze a noi note sono $vecF$ e $vecP$.
Dobbiamo trovare le due tensioni.
In realtà la tensione della fune dalla parte opposta al peso, è uguale a $F$ e contraria.
Diverso sarebbe stato il discorso se al posto della forza $vecF$ ci fosse stato un peso: la massa corrispondente avrebbe aumentato l’inerzia del sistema, la tensione avrebbe agito direttamente su questa massa diminuendo l’accelerazione (e risulta diminuito anche il momento sulla carrucola).
Perciò è
$F=T$
Calcoliamo ora $T’$
Per il secondo principio della dinamica (applicato sulla massa $m$, e prendendo come positive le forze in direzione di $T’$), risulterà
$T’-P=ma$
Ma considerando la carrucola, vale anche
$(F-T’)r=I*alpha$ (ho inserito $F$ al posto di $T$ perchè ese sono uguali in modulo.
Infine consideriamo la relazione tra accelerazione lineare a angolare
$a=r*alpha$
Si avrà dunque il sistema
${(T’-P=ma),((F-T’)r=I*alpha),(a=r*alpha):}$
Sostutuendo $ralpha$ al posto di $a$
${(T’-P=mr*alpha),((F-T’)r=I*alpha):}$
Esplicitando la prima rispetto a $T’$
${(T’=mr*alpha+P),((F-T’)r=I*alpha):}$
Sostituendo nella seconda
$(F-P-m*r*alpha)r=I*alpha$
Sostituendo il valore del momento di inerzia
$(F-P-m*r*alpha)r=1/2mr^2*alpha$
semplificando $r$
$F-P-m*r*alpha=1/2mr*alpha$
$F-P=3/2mr*alpha$
ovvero
$alpha=2/3(F-P)/(mr)
Il valore di $a$ (o di $T’$) può essere trovato facendo qualche conto sostituendo questo valore di $alpha$ nelle altre relazioni.
FINE
- Fisica