A cura di: Gianni Sammito

Sia $A$ la seguente matrice:
 
$[(0, 1, -1),(-1, 0, 1),(1, -1, 0)]$
 
1) È vero che nessun autovalore di $A$ è reale?
2) Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere:
  • $A^2 = A$
  • $A^2 = I$
  • $A^t A = I$
  • $A^t = -A$
  • $A^2 = 0$
  • $A^t = A$
3) In base alla risposta precedente, cosa si può dire sugli autovalori di $A$?
4) Trovare tutti gli autovalori di $A$, reali o complessi, indicandone molteplicità algebrica e geometrica.
5) La matrice $A$ è diagonalizzabile in $mathbb{R}$? E in $mathbb{C}$?
6) Si può dire che $A$ è nilpotente/idempotente/periodica? Se sì, quale di queste tre?

La risposta alla domanda 1. è ‘No’, dato che $0$ è un autovalore della matrice. La matrice $A$ è antisimmetrica, quindi l’unica alternativa vera è $A^t = -A$.
Dato che $A$ è una matrice antisimmetrica a coefficienti reali allora l’unico autovalore reale è $0$, gli altri sono complessi coniugati.
Gli autovalori (reali o complessi) della matrice $A$ sono tutte e sole le costanti $lambda in mathbb{C}$ tali che la matrice $A – lambda I$ è singolare, dove $I$ è la matrice identità. Per prima cosa si calcola la matrice $A – lambda I$:
 
$[(-lambda, 1, -1),(-1, -lambda, 1),(1, -1, -lambda)]$
 
Ora si deve calcolare il polinomio caratteristico di $A$, cioè il determinate di quest’ultima matrice; sviluppando rispetto alla prima colonna si ottiene:
 
$p(lambda) = – lambda( lambda^2 + 1) + (-lambda -1) + (1-lambda) = lambda^3 + 3 lambda$
 
Le radici di $p(lambda)$ sono gli autovalori, ponendo $p(lambda)=0$ si ottiene:
 
$lambda(lambda^2 + 3) = 0$ 
 
quindi gli autovalori sono $lambda_1 = 0$, $lambda_2 = isqrt{3}$, $lambda_3 = -isqrt{3}$.
Tutti gli autovalori sono semplici, per questo hanno molteplicità algebrica $1$, di conseguenza anche la molteplicità geometrica, cioè la dimensione degli autospazi, è $1$.
Dato che ci sono autovalori complessi la matrice non può essere diagonalizzabile in $mathbb{R}$; dato che tutti gli autovalori sono semplici la matrice è diagonalizzabile in $mathbb{C}$.
Data una matrice quadrata $M$, essa si dice nilpotente di potenza $k$ se e solo se $M^k = O$, dove $O$ indica la matrice nulla, si dice idempotente di esponente $k$ ($k > 1$) se e solo se $M^k = M$, si dice periodica di periodo $k$ ($k > 1$) se e solo se $M^k = I$, dove $I$ indica la matrice identità.
In questo caso la matrice $A$ non è né nilpotente, né idempotente, né periodica.
 
FINE