Un razzo di massa 3000 kg è lanciato dal suolo: il propulsore esercita sul razzo una spinta di 6.0×104 N a un angolo di elevazione costante di 60° per 50 s, poi si spegne. In prima approssimazione possiamo ignorare la perdita di massa dovuta al consumo di propellente, e trascurare la resistenza dell’aria. Calcolare la quota raggiunta dal razzo all’istante dell’estinzione e la distanza totale orizzontale dal punto di partenza all’impatto col suolo supposto orizzontale (la gittata).

Soluzione:

La forza agisce per 50 s lungo un tratto inclinato di 60° rispetto all’orizzonte. Il razzo ha una traiettoria rettilinea sotto la spinta dei motori. Il moto è, quindi, per i primi 50 s soggetto all’accelerazione dei motori e a quella di gravità diretta verso il basso. L’accelerazione dei motori, diretta lungo la direzione della forza, si può scomporre in una componente orizzontale e una verticale; quest’ultima sarà in parte bilanciata dall’accelerazione di gravità, diretta nel verso opposto. Calcoliamo prima l’accelerazione dovuta ai motori [ a=frac{F}{m}=frac{6.0cdot10^{4}, N}{3000, kg}=20,frac{m}{s^{2}} ] La componente verticale sarà [ a_{y}=20sin60{^circ}=17.3,frac{m}{s^{2}} ] A tale componente va sottratta l'accelerazione di gravità diretta nel verso opposto, per cui l'accelerazione verticale totale è [ a_{y}^{tot}=left(17.3-9.8right)=7.5,frac{m}{s^{2}} ] L'altezza massima raggiunta, prima dello spegnimento dei motori, è [ h=frac{1}{2}a_{y}^{tot}t^{2}=frac{1}{2}cdot7.5,frac{m}{s^{2}}cdot50^{2}, s^{2}=9375, m ] Dopo lo spegnimento dei motori, si può supporre che il missile segua le leggi del moto dei proiettili. Salirà quindi ancora per un tratto per inerzia e poi cadrà sotto l'azione del suo peso; contemporaneamente avrà uno spostamento orizzontale a velocità costante. Calcoliamo le velocità raggiunte dal razzo all'atto dello spegnimento dei motori: [ v_{y}=a_{y}^{tot}t=7.5,frac{m}{s^{2}}cdot50, s=375,frac{m}{s} ] Per ottenere la componente orizzontale costante della velocità, calcoliamo prima la componente orizzontale dell'accelerazione dovuta ai motori che hanno agito per 50 s [ a_{x}=20cos60{^circ}=10,frac{m}{s^{2}} ] la velocità orizzontale, rimasta costante, sarà [ v_{x}=a_{x}t=10,frac{m}{s^{2}}cdot50, s=500,frac{m}{s} ] La velocità del razzo nella direzione del moto sarà [ v_{0}=sqrt{375^{2}+500^{2}}=625,frac{m}{s} ] e l'angolo formato con l'orizzontale è [ alpha=arctanfrac{375}{500}=37{^circ} ] Il razzo tornerà alla quota di 9375 m, dopo aver percorso, usando le relazione del moto dei proiettili [ R=frac{v_{0}^{2}sin2alpha}{g}=frac{625^{2},frac{m^{2}}{s^{2}}cdotsin74{^circ}}{9.8,frac{m}{s^{2}}}=38316, m ] a questa si deve aggiungere la distanza percorsa in orizzontale in fase di salita [ s_{x}=frac{1}{2}cdot10,frac{m}{s^{2}}cdot50^{2},frac{m}{s^{2}}=12500, m ] e quella in fase di ritorno al suolo, sotto l'effetto dell'accelerazione di gravità. Per calcolare tale distanza è necessario conoscere prima il tempo impiegato a percorrere il dislivello di 9375 m, che si ricava da $$y-y_{0}=-v_{o}t-frac{1}{2}gt^{2}$$; sostituendo e risolvendo si ha begin{eqnarray*} 9375=375t+4.9t^{2} & & t=19.9, s end{eqnarray*} In tale tempo, lo spostamento orizzontale con una velocità costante di 500 m/s, sarà [ s=500,frac{m}{s}cdot19.9, s=9950, m ] La distanza totale percorsa, in direzione orizzontale, sarà [ d=38316+12500+9950=60766, m ]