A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $105^circ$.


Svolgimento
Osserviamo che $(105^circ)=(60^circ)+(45^circ)$; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:

$sin(alpha+beta)=sin(alpha)cos(beta)+cos(alpha)sin(beta)$
$cos(alpha+beta)=cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(beta)$
$tg(alpha+beta)=(tg(alpha)+tg(beta))/(1-tg(beta)tg(alpha))$
Nel nostro caso $alpha=60^circ , beta=45^circ$, sostituendo otteniamo

$sin(105^circ)=sin(60^circ+45^circ)=sin(60^circ)cos(45^circ)+cos(60^circ)sin(45^circ)=$
$=(sqrt3)/2((sqrt2)/2)+1/2(sqrt2)/2=(sqrt6)/4+(sqrt2)/4=1/4(sqrt6+sqrt2)$.
$cos(105^circ)=cos(60^circ+45^circ)=cos(60^circ)cos(45^circ)-sin(60^circ)sin(45^circ)=$
$=(sqrt2)/2*1/2-(sqrt2)/2*(sqrt3)/2=(sqrt2)/4-(sqrt6)/4=1/4(sqrt2-sqrt6)$.
$tg(105^circ)=tg(60^circ+45^circ)=(tg(60^circ)+tg(45^circ))/(1-tg(45^circ)tg(60^circ))=$
$=(sqrt3+1)/(1-(sqrt3*1))=(sqrt3+1)/(1-sqrt3)$.