A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $75^circ$.


Svolgimento
Osserviamo che $(75^circ)=(30^circ)+(45^circ)$; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:

$sin(alpha+beta)=sin(alpha)cos(beta)+cos(alpha)sin(beta)$
$cos(alpha+beta)=cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(beta)$
$tg(alpha+beta)=(tg(alpha)+tg(beta))/(1-tg(beta)tg(alpha))$
Nel nostro caso $alpha=30^circ , beta=45^circ$, sostituendo otteniamo

$sin(75^circ)=sin(30^circ+45^circ)=sin(30^circ)cos(45^circ)+cos(30^circ)sin(45^circ)=$
$=1/2((sqrt2)/2)+(sqrt3)/2*(sqrt2)/2=(sqrt2)/4+(sqrt6)/4=1/4(sqrt2+sqrt6)$.
$cos(75^circ)=cos(30^circ+45^circ)=cos(30^circ)cos(45^circ)-sin(30^circ)sin(45^circ)=$
$=(sqrt3)/2*(sqrt2)/2-1/2*(sqrt2)/2=(sqrt6)/4-(sqrt2)/4=1/4(sqrt6-sqrt2)$.
$tg(75^circ)=tg(30^circ+45^circ)=(tg(30^circ)+tg(45^circ))/(1-tg(45^circ)tg(30^circ))=$
$=((sqrt3)/3+1)/(1-(sqrt3)/3*1)=((sqrt3+3)/3)/((3-sqrt3)/3)=(sqrt3+3)/(3-sqrt3)$.