Calcolare la misura dell'angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con l'ipotenusa...

A cura di: Stefano Sannella

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Calcolare la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con l’ipotenusa, sapendo che il rapporto tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’altro cateto vale $1/(2*sqrt3).

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Detto A il vertice dell’angolo retto, chiamiamo l’angolo $hat{ACB}$ con x (e questo è l’angolo tra il cateto $AC$ e l’ipotenusa $CB$). Posto $0<x<90$, si sa che $(bar{CH})/(bar{AB})=1/(2sqrt(3))$, con H piede dell’altezza relativa all’ipotenusa; ma $bar{CH}=bar{AC}cosx$ e $bar{AH}=bar{AC}sinx$, considerando il triangolo rettangolo $ACH$.

Se ora considero il triangolo rettangolo $ABH$, in cui $hat{HAB}$ è ampio x, ho che $bar{AB}=(bar{AC}sinx)/cosx$.

Ora $(bar{CH})/(bar{AB})=((bar{AC}cosx)/((bar{AC}sinx)/cosx))=1/(2sqrt(3))$

cioe  $(cos^2x)/(sinx)=1/(2sqrt(3))$

Risolvendo l’equazione troviamo l’ampiezza di x.
Facciamo il denominatore comune, ponendo $sinx!=0$. Ottieniamo:

$2sqrt(3)cos^2x-sinx=0$

Ora ricordiamo che $cos^2x=1-sin^2x$, perciò $2sqrt(3)-2sqrt(3)sin^2x-sinx=0$.
Ordinando e cambiando i segni:

$2sqrt(3)sin^2x+sinx-2sqrt(3)=0$

Ora applicando la formula risolutiva:

$sinx=(-1+-sqrt(1+48))/(4sqrt(3))=(-1+-7)/(4sqrt(3))$

$sinx=-2sqrt(3)/3$ che non è accettabile

$sinx=sqrt(3)/2$, da cui $x=60°$

FINE