A cura di: Stefano Sannella
Calcolare le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione $y=-x^2+2x+4$condotte dal punto $P(1/2,7)$
Delineamo la strategia: calcoliamo l’equazione di una retta generica passante per il punto dato (fascio) dopodichè mettiamo a sistema questo fascio con la parabola data, e poniamo uguale a zero il delta dell’equazione risolvente: questo assicura che quest’equazione risolvente dia una sola soluzione, ovvero graficamente un solo punto (infatti la tangenza riguarda proprio un solo punto di intersezione).
L’equazione della retta possiamo trovarla conoscendo il classico
$y-y_0=m(x-x_0)$ che nel nostro caso è
$y-7=m(x-1/2)$ cioè
$y=mx-m/2+7$
Intersechiamo ora tale fascio di rette con la parabola.
Otteniamo:
${(y=-x^2+2x+4),(y=mx-m/2+7):}$
Procedendo con il metodo del confronto
$mx-m/2+7=-x^2+2x+4$
cioè, portando gli addendi dal secondo al primo membro e raccogliendo opportunamente, avremo
$x^2+x(m-2)+3-m/2=0$
Il delta è
$Delta=(m-2)^2-4*(3-m/2)$
Ponendo $Delta=0$ si trova:
$(m-2)^2-4*(3-m/2)=0$ cioè, sviluppando le parentesi
$m^2-4m+4-12+2m=0$ ovvero
$m^2-2m-8=0$
da cui $m=4$ oppure $m=-2$
Le rette tangenti a questo punto si trovano sostituendo questi due valori trovati.
Esse sono
$y=4x+5$
$y=-2x+8$
FINE
- Geometria analitica