A cura di: Gianni Sammito

Due monete vengono lanciate più volte finché entrambe abbiano ottenuto testa almeno una volta. Qual è la probabilità che occorrano $k$ lanci?

 


La probabilità richiesta equivale a

 

 

$P({"la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"}" " cap " " {"la seconda aveva già ottenuto testa almeno una volta nei k-1 lanci precedenti"}) +$

$+ P({"la seconda ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"}" " cap " " {"la prima aveva già ottenuto testa almeno una volta nei k-1 lanci precedenti"}) +$

$+ P({"entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio"})$

 

Considerando che entrambe le monete non sono truccate, perciò hanno la stessa probabilità di ottenere testa o croce, e considerando che il lancio della prima moneta e della seconda moneta sono eventi indipendenti, si ottiene

 

$2 P({"la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"}) P({"la seconda aveva ottenuto almeno una volta testa nei k-1 lanci precedenti"}) +$

$+P({"entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio"})$

 

Dato che

 

$P({"la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"}) = frac{1}{2} cdot (frac{1}{2})^k$

 

$P({"la seconda aveva ottenuto almeno una volta testa nei k-1 lanci precedenti"}) = $

$ = 1 – P({"la seconda non aveva mai ottenuto testa nei k-1 lanci precedenti"}) = 1 – (frac{1}{2})^{k-1}$

 

 $P({"entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio"}) = frac{1}{2} cdot (frac{1}{2})^{k-1} cdot frac{1}{2} cdot (frac{1}{2})^{k-1} = (frac{1}{4})^k$

 

Pertanto la probabilità richiesta vale

 

$2 cdot (frac{1}{2})^{k-1} cdot (1 – (frac{1}{2})^{k-1}) + (frac{1}{4})^k = (frac{1}{2})^{k-1} – (frac{1}{4})^{k-1} + (frac{1}{4})^k$

 

FINE