A cura di: Gianni Sammito
Due monete vengono lanciate più volte finché entrambe abbiano ottenuto testa almeno una volta. Qual è la probabilità che occorrano $k$ lanci?
La probabilità richiesta equivale a
$P({"la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"}" " cap " " {"la seconda aveva già ottenuto testa almeno una volta nei k-1 lanci precedenti"}) +$
$+ P({"la seconda ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"}" " cap " " {"la prima aveva già ottenuto testa almeno una volta nei k-1 lanci precedenti"}) +$
$+ P({"entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio"})$
Considerando che entrambe le monete non sono truccate, perciò hanno la stessa probabilità di ottenere testa o croce, e considerando che il lancio della prima moneta e della seconda moneta sono eventi indipendenti, si ottiene
$2 P({"la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"}) P({"la seconda aveva ottenuto almeno una volta testa nei k-1 lanci precedenti"}) +$
$+P({"entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio"})$
Dato che
$P({"la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"}) = frac{1}{2} cdot (frac{1}{2})^k$
$P({"la seconda aveva ottenuto almeno una volta testa nei k-1 lanci precedenti"}) = $
$ = 1 – P({"la seconda non aveva mai ottenuto testa nei k-1 lanci precedenti"}) = 1 – (frac{1}{2})^{k-1}$
$P({"entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio"}) = frac{1}{2} cdot (frac{1}{2})^{k-1} cdot frac{1}{2} cdot (frac{1}{2})^{k-1} = (frac{1}{4})^k$
Pertanto la probabilità richiesta vale
$2 cdot (frac{1}{2})^{k-1} cdot (1 – (frac{1}{2})^{k-1}) + (frac{1}{4})^k = (frac{1}{2})^{k-1} – (frac{1}{4})^{k-1} + (frac{1}{4})^k$
FINE
- Probabilità e Statistica