A cura di: Gianni Sammito

Calcolare le radici terze di $-81$.

 


Si deve calcolare $z$ in modo che $z^3 = -81$. Dato che $z$ e $-81$ sono numeri complessi possono essere scritti in modulo e fase

 

 

$z = rho e^{i theta}$

 

$-81 = 3^3 e^{i pi}$

 

dove $rho$ e $theta$ sono il modulo e la fase di $z$. Quindi

 

$rho^3 e^{i 3 theta} = 3^3 e^{i pi}$

 

da cui

 

$rho^3 = 3^3 quad implies quad rho = 3$

 

$3 theta = pi + 2k pi quad implies quad theta = frac{pi}{3} + frac{2}{3} k pi quad k = 0,1,2$

 

Quindi le radici terze di $-81$ sono

 

$3 e^{i (frac{pi}{3} + frac{2}{3} k pi)} quad k = 0,1,2$

 

FINE