A cura di: Stefano Sannella

 

 

Figura

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dato il triangolo equilatero $stackrel(Delta){ABC}$ di lato 2 tracciare con centro in $A$ la circonferenza di raggio 1 che incontri $bar{AB}$ in $M$ e $bar{AC}$ in $N$. Preso un punto $P$ sull’arco $MN$ interno al triangolo,determinare il limite del rapporto $(PB-PA)/(PM)$ al tendere di $P$ ad $M$ sull’arco $MN$

 

Poniamo

$hat(PAK)=x$

Inoltre

$bar{AP}=1$

poichè esso risulta essere raggio della circonferenza, e in virtù di ciò è uguale al segmento $bar{AM}$

Poi possiamo anche dire che

$bar{AK}=cos(x)$

$bar{PK}=sen(x)$

grazie al teorema dei triangoli rettangoli che lega cateto e ipotenusa.

Poi

$bar{AM}=1$

$bar{KM}=1 – cos(x)$

Per Pitagora si ha

$bar{PM}=sqrt{bar{PK}^2+bar{KM}^2}=sqrt{(1-cos(x))^2 + sen^2(x)}=sqrt{1-2cos(x)+cos^2(x) + sen^2(x)}=$

$=sqrt{1-2cos(x)+1}=sqrt{2-2cos(x)}$

Troviamo $bar{KB}$ sommando due segmenti noti.

$bar{KB}=bar{KM} + bar{MB}=1 – cos(x) + 1=2 – cos(x)$

Applicando nuovamente Pitagora

$bar{PB}=sqrt{bar{PK}^2 + bar{KB}^2}=sqrt{sen^2(x) + (2 – cos(x))^2}=sqrt{sen^2(x) + 4 – 4cos(x) + cos^2(x)}=$

$=sqrt{1 + 4 – 4cos(x)}=sqrt{5 – 4cos(x)}$

Il rapporto di cui dobbiamo calcolare il limite è

$frac{bar{PB}-bar{PA}}{bar{PM}}=frac{sqrt{5 – 4cos(x)} – 1}{sqrt{2 – 2cos(x)}}$

$lim_{x to 0}frac{sqrt{5 – 4cos(x)} – 1}{sqrt{2 – 2cos(x)}}=[frac{0}{0}]$

De L’Hopital

$lim_{x to 0}frac{frac{1}{2sqrt{5 – 4cos(x)}}*4sen(x)}{frac{1}{2sqrt{2 – 2cos(x)}}*2sen(x)}=$

$=frac{1}{2sqrt{5 – 4cos(x)}}*4sen(x)*2sqrt{2 – 2cos(x)}*frac{1}{2sen(x)}=frac{2*0}{1}=0$

Eventualmente, si poteva anche tentare la via della razionalizzazione.

FINE