A cura di: Luca Lussardi

Si data la funzione $f(x)$ definita da

 

$sin (frac{1}{x})$ se $x ne 0$ e $0$ se $x=0$.

Discutere la derivabilità di $f$.

 

$f$ è continua anche in $x=0$ (altrove non vi sono problemi, per composizione di funzioni continue); infatti

 

$0 le |x sin(frac{1}{x})| leq |x|$
 

e dal Teorema del confronto per i limiti, si ha che

$lim_{x to 0}x sin (frac{1}{x})=0$.
 

La derivata prima in $x=0$ non esiste (altrove, sempre per composizione, $f$ è derivabile); infatti

 

$lim_{h to 0}frac{h sin(frac{1}{h})}{h}=lim_{h to 0}sin(frac{1}{h})$
 

non esiste. Dunque, la funzione data non è derivabile in $x=0$.