A cura di: Luca Lussardi

Si mostri che la funzione

$f(x)=3x+2+e^{4x}$
è invertibile su tutto $RR$; denotando con $g$ la funzione inversa calcolare poi $frac{3}{g'(3)}$.

La funzione data è definita e derivabile in tutto $RR$; inoltre si ha

$f'(x)=3+4e^{4x}>0$
 
per ogni $x in RR$. Dunque $f$ strettamente monotona (crescente), quindi invertibile, e $f'(x)ne 0$ per ogni $x in RR$. Ora si ha

 

$f(x)=3$ se e solo se $x=0

e dunque

$g'(3)=frac{1}{f'(0)}=1/7$

 

da cui

$frac{3}{g'(3)}=21$.