A cura di: Stefano Sannella
Determinare il valore dei parametri $a,b$ affinchè sia vero il limite
$lim_(xto+oo)[a(e^x)+b(x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3$
Possiamo dire che quando questo limite tende a +oo, la funzione si comporta come questa $(ae^x+bx^2)/(2x^2)$ (l’ "uno" è trascurabile, a fronte di infiniti)
Ma d’altra parte l’esponenziale ha un infinito più "forte" rispetto a una qualsiasi curva di secondo grado, quindi esso farebbe divergere a più infinito tutto il limite, ma questo non è possibile perchè il nostro limite è $1/3$, valore finito.
Quindi deduciamo che deve essere necessariamente
$a=0$
affinchè l’esponenziale sparisca
A questo punto è facile:
abbiamo
$lim_(xto+oo)[b(x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3$
ma poichè $1$ lo trascuriamo, avremo
$lim_(xto+oo)[b(x^2)]/[2(x^2)]=1/3$
pertanto dovrà per forza essere che
$b/2=1/3$ da cui ricaviamo che
$b=2/3
quindi riscrivendo la funzione viene
$f(x)=[(2/3x^2)+1]/[2(x^2)]$
e facendo per scrupolo una verifica per sostituzione, una volta sostituiti i valori dei parametri trovati, eseguiamo
$lim_(xto+oo)f(x)=lim_(xto+oo)[(2/3x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3$
che è vero.
FINE
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