A cura di: Francesco Speciale
Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza avente la seguente equazione:
$x^2+y^2+4x+2y+5=0$
Svolgimento
l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sviluppandola si ha:
$x^2+x_0^2-2xx_0+y^2+y_0^2-2yy_0=r^2$
ponendo $-2x_0=alpha$, $-2y_0=beta$ e $x_0^2+y_0^2-r^2=gamma$ si ha
$x^2+y^2+alphax+betay+gamma=0$
che rappressenta l’equazione normale o canonica della circonferenza.
Il centro $C$ della circonferenza rappresentata dall’equazione canonica si ricava dalle due relazioni:
${(-2x_0=alpha),(-2y_0=beta):} => {(x_0=-(alpha)/2),(y_0=-(beta)/2):}$;
Quindi $C(-(alpha)/2; -(beta)/2)$.
La misura del raggio invece si ricava dalla terza relazione
$r^2=x_0^2+y_0^2-gamma => r^2=(-(alpha)/2)^2+(-(beta)/2)^2-gamma => r=sqrt((-(alpha)/2)^2+(-(beta)/2)^2-gamma)$.
Prendiamo in considerazione la nostra equazione
$x^2+y^2+4x+2y+5=0$
Consideriamo l’equazione normale della circonferenza generica di raggio r e centro $C(x_0;y_0)$ si ha:
$alpha=4, beta=2, gamma=5$.
Pertanto, essendo $C(-(alpha)/2; -(beta)/2)$, otteniamo
$C(-4/2;-2/2)=(-2;-1)$
ed essendo $r=sqrt((-(alpha)/2)^2+(-(beta)/2)^2-gamma)$ si ha
$r=sqrt((-2)^2+(-1)^2-5)=sqrt(4+1-5)=0$.
Pertanto l’equazione $x^2+y^2+4x+2y+5=0$ rappresenta l’equazione di un punto e non di una circonferenza.
- Geometria analitica