A cura di: Francesco Speciale

Determinare l’ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che la somma dei seni dei due angoli acuti
è $(17)/(13)$ e che il cateto minore è $5x$


Svolgimento

Noi sappiamo che $sin(beta)+sin(gamma)=(17)/(13)$
Per le formule di prostaferesi:
$sinp+sinq=2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)$
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+beta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+beta+gamma=180^circ => beta+gamma=180^circ-90^circ=90^circ$.
Pertanto
$(17)/(13)=sin(beta)+sin(gamma)=2sin((beta+gamma)/2)cos((beta-gamma)/2)=2sin(45^circ)cos((beta-gamma)/2)=$
$=2*(sqrt2)/2cos((beta-gamma)/2)=sqrt2cos((beta-gamma)/2) =>  cos((beta-gamma)/2)=(17)/(13sqrt2)=(17sqrt2)/(26)$.
Quindi $(beta-gamma)/2=arccos((17sqrt2)/(26))=22,38^circ$.

Mettiamo a sistema le due equazioni trovate, $(beta-gamma)/2=22,38^circ$ e $(beta+gamma)/2=45^circ$, e
risolviamolo per sostituzione
${((beta+gamma)/2=45^circ),((beta-gamma)/2=22,38^circ):}$;
${((beta+gamma)=90^circ),((beta-gamma)/2=22,38^circ):}$;
${((beta)=90^circ-gamma),((90^circ-gamma-gamma)/2=22,38^circ):}$;
${((beta)=90^circ-gamma),((90^circ-2(gamma))/2=22,38^circ):}$;
${((beta)=90^circ-gamma),(45^circ-(gamma)=22,38^circ):}$;
${((beta)=90^circ-gamma),((gamma)=22,62^circ):}$;
${((beta)=90^circ-22,62^circ=67,38^circ),((gamma)=22,62^circ):}$.
Quindi $(gamma)=22,62^circ$ e $(beta)=67,38^circ$.

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$c=asin(gamma) => a=c/(sin(gamma))=(5x)/(sin(22,62^circ))=13x$.