Dimostrare che un triangolo avente un lato coincidente con la base $bar(BC)$ di un triangolo isoscel

A cura di: Francesco Speciale

 

 

Dimostrare che un triangolo avente un lato coincidente con la base $BC$ di un triangolo isoscele $ABC$ e il vertice opposto $D$ in un punto della bisettrice dell’angolo al vertice di $ABC$, è isoscele.

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Svolgimento:
Consideiamo un triangolo isoscele $bar(ABC)$ con vertice $A$ e base $bar(BC)$.
Mandiamo la bisettrice di $A$ che interseca in $F$ la base $bar(BC)$ e su queta semiretta prendiamo un punto $D$.
Ora tracciamo il triangolo $bar{BCD}$. 
Ricordiamo, ora, il teorema che dice "in un triangolo isoscele,
la bisettrice dell’angolo opposto alla base è anche altezza e mediana della base".
Considera i triangoli $bar{BDF}$ e $bar{DCF}$ aventi i lati $bar(BF)$ e $bar(BC)$ congruenti
(per il teorema di prima la bisettrice è mediana); e uguale l’angolo retto $DhatFB$ e $DhatFC$
(la bisettrice è altezza, quindi $BhatFA$ e $ChatFA$ sono retti e $DhatFB$, $DhatFC$ sono 
gli angoli opposti ad un vertice e quindi uguali entrambi ad angolo retto), inoltre hanno $bar(DF)$ in comune.
I due triangoli sono quindi congruenti e come tali hanno congruente anche l’angolo $BhatDF=DhatCF$.
In conclusione il triangolo $bar(BCD)$ quindi ha gli angoli alla base congruenti è quindi è isoscele.