A cura di: Stefano Sannella
Si risolva la seguente disequazione esponenziale goniometrica
$(e^(cosx)-sqrt(e))/(e^(tanx)-e^(1/sqrt3))>0$
Dobbiamo studiare il comportamento di numeratore e denominatore, separatamente (omettiamo la periodicità, riportando i risultati del primo giro)
$e^(cosx)-sqrte>0$
$e^(cosx)>sqrte$
Ma possiamo anche scrivere
$sqrte=e^(1/2)$ perciò
$e^(cosx)>e^(1/2)$
A questo punto, dobbiamo verificare quando l'esponente di sinistra è maggiore di quello di destra
$cosx>1/2$
ovvero
$0<x<pi/3$
e
$5/3pi<x<2pi
Per questi valori dell'incognita, il numeratore è positivo.
Deduciamo dunque che per i restanti valori, ovvero
$pi/3<x<5/3pi$
il numeratore è negativo.
Passiamo ora la denominatore
$e^(tanx)-e^(1/sqrt3)>0$
$e^(tanx)>e^(1/sqrt3)$
Coinvolgendo gli esponenti
$tanx>1/sqrt3$
ovvero
$pi/6<x<pi/2$
e
$7/6pi<x<3/2pi$
I valori complementari renderanno il denominatore negativo
$0<x<pi/6$
$pi/2<x<7/6pi$
$3/2pi<x<2pi$
Avendo alla mano lo studio del segno di numeratore e denominatore, vediamo che la disequazione chiede i valori per i quali la frazione sia positiva.
Pertanto, occorre che numeratore e denominatore siano di segno concorde.
Assumiamo che entrambi siano positivi. Mettendo a sistema i valori di $x$ che rendono positivi numeratore e denominatore, vediamo quali di essi sono condivisivi.
Riscriviamoli
${(0<x<pi/3),(5/3pi<x<2pi):}$
per il numeratore
${(pi/6<x<pi/2),(7/6pi<x<3/2pi):}$
per il denominatore.
Rappresentando tali intervalli su una retta, possiamo dire che i valori comuni sono nell'intervallo
$pi/6<x<pi/3$
Assumiamo che numeratore e denominatore siano negativi.
Per il numeratore abbiamo i seguenti intervalli
$pi/3<x<5/3pi$
Per il denominatore
${(0<x<pi/6),(pi/2<x<7/6pi),(3/2pi<x<2pi):}$
I valori comuni sono negli intervalli
$pi/2<x<7/6pi$
$3/2pi<x<5/3pi$
che insieme a quelli già trovati in
$pi/6<x<pi/3$
sono quelli che rendono vera la nostra disequazione di partenza.
FINE
- Disequazioni