A cura di: Stefano Sannella
Si trovi il dominio della seguente funzione
$f(x)=log_(1/3)(ln(ln^2x-sqrt(5)lnx))$
Questa è un’applicazione dei sistemi di disequazioni. Per trovare il dominio della funzione dobbiamo infatti risolvere un sistema di qualche disequazione.
E’ fondamentale ricordare che la funzione logaritmo è definita se l’argomento è strettamente positivo.
${(x>0),(ln^2x-sqrt(5)lnx>0),(ln(ln^2x-sqrt(5)lnx)>0):}$
Consideriamo la seconda disequazione
$ln^2x-sqrt(5)lnx>0$ diventa
$lnx(lnx-sqrt(5))>0$
Prendiamo i valori esterni alle radici, e otteniamo
$lnx<0$ $U$ $lnx>sqrt(5)$
Togliendo i logaritmi
$0<x<1$ $U$ $x>e^(sqrt(5))$
Poi trattiamo la terza disequazione
$ln(ln^2x-sqrt(5)lnx)>0$
Affinchè un logaritmo sia maggiore di zero, il suo argomento deve essere maggiore di $1$. in questo caso l’argomento è
$ln^2x-sqrt(5)lnx>1$
$ln^2x-sqrt(5)lnx-1>0$
Risolvendo l’equazione associata rispetto a $lnx$ e prendendo i valori esterni, si giunge a
$lnx>(3+sqrt(5))/2$ $U$ $lnx<(sqrt(5)-3)/2$
e togliendo i logaritmi
$x>e^((3+sqrt(5))/2)$ $U$ $0<x<e^((sqrt(5)-3)/2)$
Intersecando le soluzioni ottenute da ciascuna disequazione, ottieniamo:
Dominio: $0<x<e^((sqrt(5)-3)/2)$ U $x>e^((3+sqrt(5))/2)$
- Studio di Funzione