A cura di: Gianni Sammito

Calcolare l’area dell’ellisse avente equazione cartesiana

 

$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$

 


L’area richiesta equivale a

 

 

$int int_{A} dxdy$

 

dove

 

$A = {(x,y) in mathbb{R}^2: frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} le 1}$

 

Conviene passare in coordinate polari, ponendo

 

${(x = a rho cos(theta)),(y = b rho sin(theta)):}$

 

con $rho in [0, +infty)$ e $theta in [0, 2 pi]$. La matrice Jacobiana associata alla trasformazione è

 

$J(rho, theta) = [(frac{partial}{partial rho} x, frac{partial}{partial theta} x),(frac{partial}{partial rho} y, frac{partial}{partial theta} y)] = [(a cos(theta), -a rho sin(theta)),(b sin(theta), b rho cos(theta))]$

 

Il determinante della matrice Jacobiana vale

 

$det(J(rho, theta)) = ab rho cos^2(theta)  + ab rho sin^2(theta) = ab rho$

 

pertanto

 

$dxdy = |ab rho| d rho d theta = ab rho d rho d theta$

 

Imponendo la condizione $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} le 1$ si ottiene

 

$rho^2 cos^2(theta) + rho^2 sin^2(theta) le 1 implies rho in [0, 1]$

 

Pertanto l’area dell’ellisse vale

 

 $int_{0}^{2 pi} int_{0}^{1} ab rho d rho d theta = frac{ab}{2} int_{0}^{2 pi} [rho^2]_{0}^{1} d theta = frac{ab}{2} int_{0}^{2 pi} d theta = frac{ab}{2} cdot 2 pi = ab pi$

 

FINE