Funzione Logaritmica: definizione, grafico e dominio

FUNZIONE LOGARITMICA

La base di tale funzione ovviamente è il logaritmo, introdotto da Nepero e sfruttato in particolare nelle scienze applicate con l’introduzione delle tavole logaritmiche per la semplificazione di calcoli matematici. La funzione logaritmica è la funzione inversa dell’elevamento a potenza, così come il logaritmo naturale (ln, che ha per base in numero di Eulero e) è l’inverso della funzione esponenziale ex, entrambe funzioni importantissime in analisi matematica. Vediamo ora il grafico della funzione logaritmica e le principali caratteristiche partendo dalla definizione:

per x∈R⁺  la legge che associa x→log_ax  con a>0 e a≠1 è detta funzione logaritmica

Il logaritmo in base 1 non è una funzione e non è definita, perché il numero da mettere ad 1 per ottenere 1 è qualsiasi numero ed inoltre il numero a cui elevare 1 per ottenere uno x diverso da 1 non esiste.
Anche per la funzione logaritmica dobbiamo fare due diverse distinzioni a seconda del valore della base.

y=log_ax  con 0<a<1

L’andamento della funzione è:

Si ha intersezione con l’asse delle ascisse in 1 questo perché qualsiasi numero elevato a 0 da 1, infatti  y=log_a 1=0.

Caratteristiche generali:

• Dominio: R+, semiasse positivo delle ascisse;
• Codominio: tutto R;
• Il segno della funzione cambia: log_ax>0  per  0<x<1, log_ax<0  per x>1;
• Monotona decrescente;
• Continua e derivabile su tutto il dominio;
• I limiti agli estremi del dominio:
  
  questo vuol dire che l’asse delle ordinate è asintoto verticale della funzione.

y=log_ax  con a>1

In questo caso l’andamento è:

Anche qui si ha intersezione con l’asse delle ascisse, sempre perché y=log_a?1=0.
Caratteristiche generali:

• Dominio: R+;
• Codominio: tutto R;
• Il segno della funzione cambia: log_ax<0  per 0<x<1, log_ax>0  per x>1;
• Monotona crescente;
• Continua e derivabile su tutto il dominio;
• I limiti agli estremi del dominio:
  
  come prima l’asse delle ordinate è asintoto verticale della funzione, precisamente il semiasse negativo.

Come detto inizialmente uno delle funzioni logaritmiche più sfruttate è quella in base e (numero di Eulero) indicata con ln(x), ma anche quella in base 10 è ampiamente utilizzata che viene indicata semplicemente con log(x); vediamone i grafici.

Come si vede dai valori in ordinata più grande è la base più lentamente la funzione crescerà.