FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE: GRAFICI E FORMULE. Le funzioni goniometriche inverse o funzioni trigonometriche inverse, sono ovviamente strettamente collegate alle funzioni trigonometriche. La parola inverse ci dovrebbe far venire in mente una funzione che sia biiettiva e quindi appunto invertibile, ma le funzioni trigonometriche non godono di tale proprietà. Infatti per ogni variabile la funzione trigonometrica f associa infinite soluzioni, questo vuol dire che la f-1 non è neanche una funzione visto che è costituita da infiniti elementi nel suo dominio per ogni valore della variabile.
Vediamo allora come definire queste funzioni trigonometriche inverse:
- Funzione trigonometrica inversa del seno, arcoseno: Il seno è quella funzione che associa ad un valore dell’asse reale R un numero nell’intervallo [-1,1], ora vogliamo definire quella funzione che ad un valore nell’intervallo [-1,1] associa un unico valore in R.
In particolare chiamiamo arcoseno (anche indicato sin-1) quella particolare funzione inversa del seno che associa ad ogni valore nell’intervallo [-1,1] un valore compreso tra [-?/2,?/2].
In altre parole viene ristretto il dominio della funzione seno all’intervallo [-?/2,?/2] così da renderla biiettiva e quindi invertibile.
- Funzione trigonometrica inversa del coseno, arcocoseno: Anche il coseno è una funzione che associa ad un valore dell’asse R un’immagine che sta nell’intervallo [-1,1], analogamente a quanto fatto prima anche qui si restringe il dominio del coseno per poterlo rendere invertibile, ma diversamente si restringerà all’intervallo [0,π]. Vediamo i grafici:
Chiameremo arcocoseno (anche indicata cos-1) quella particolare funzione invertibile del coseno che associa ad ogni valore dell’intervallo [-1,1] un valore nell’intervallo [0,π].
cosx ?R→[-1,1]
cos-1x ?[-1,1]→[0,π].
- Funzione trigonometrica inversa della tangente, arcotangente: La tangente è una funzione che associa ad ogni valore appartenente all’insieme dei reali R (ad esclusione dei punti pari a π/2 +kπ) un valore sempre in R. Con un procedimento analogo rendiamo la tangente invertibile restringendo il suo dominio, ma questa volta lo restringiamo all’intervallo (-π/2,π/2). I grafici saranno:
Chiameremo arcotangente (anche indicata con tan-1) quella particolare funzione invertibile della tangente che associa ad un valore dell’asse reale R un valore nell’intervallo (-π/2,π/2).
Queste sono le funzioni inverse delle tre principali funzione trigonometriche, ma ovviamente non sono le uniche.
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