$f(x)=1/(1+x*e^x)+1/(x+x^2*e^x)$

A cura di: Stefano Sannella

{etRating 3} 

Trovare una primitiva della funzione

$f(x)=1/(1+x*e^x)+1/(x+x^2*e^x)$

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Sommando le due frazioni
ci si riduce a calcolare l’integrale :
$L=int(x+1)/(x(1+xe^x))dx$ che può essere risolto
con la posizione $1+xe^x=t$ , da cui $xe^x=t-1,dx=(dt)/(e^x(x+1))$

Sostituendo risulta:
$L=int(x+1)/(xt)*(dt)/(e^x(x+1))=int1/(xe^x)*(dt)/t=int1/(t(t-1))dt=int[1/(t-1)-1/t]dt$
Integrando si ha:
$L=ln|(t-1)/t|+C=ln|(xe^x)/(1+xe^x)|+C=x+ln|x/(1+xe^x)|+C$
Particolarizzando la $C$ si possono ottenere tutte le primitive richieste.

FINE