Il concetto di infinito è sicuramente uno dei concetti più affascinanti di tutta la matematica, infatti la nostra normale intuizione non è in grado di studiare correttamente l'infinito, anche la matematica lo fa entro certi limiti, vediamo come.
Quando la nostra mente pensa all'infinito quasi sempre pensa all'infinità di numeri: in effetti i diversi insiemi di numeri sono i soli insiemi infiniti che si incontrano continuamente.
L'insieme più semplice di numeri che possiamo immaginare è quello dei numeri naturali, esso è chiaramente infinito, tuttavia noi diciamo che anche l'insieme dei numeri pari o quello dei numeri dispari è infinito, questo ci pone davanti alla questione di valutare se sono di più i numeri pari o quelli dispari, oppure i naturali e i pari. Alla prima questione viene naturale rispondere che ci sono tanti pari quanti dispari, perché quando contiamo troviamo un pari e un dispari, alternati; la seconda domanda pone maggiori difficoltà, infatti ci verrebbe da rispondere che ci sono più naturali che pari, dato l'insieme dei numeri pari è contenuto in quello dei numeri naturali, ma allora in che senso sono entrambi infiniti? Qualcuno potrebbe rispondere che sono domande senza senso, ma in realtà la matematica può rispondere in maniera rigorosa a queste domande.
Vediamo prima un po' di teoria degli insiemi finiti, per poi passare a quelli infiniti, se un insieme contiene k elementi si dice che la cardinalità di quell'insieme è k; inoltre se presi due insiemi essi possono essere messi in corrispondenza biunivoca, a ogni elemento del primo insieme corrisponde uno e un solo elemento del secondo insieme e viceversa, allora i due insiemi hanno la stessa cardinalità, oppure si dice anche che sono equipotenti.
Se un insieme, finito, è contenuto in un altro insieme, senza che i due insiemi coincidano, allora il primo insieme può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sotto insieme del secondo, e il secondo insieme avrà più elementi del primo, e la cardinalità del primo sarà minore della cardinalità del secondo. In questo modo possiamo dare una nuova definizione di numero, indipendente dall'assiomatizzazione di Peano, un numero è ciò che hanno in comune tutti gli insiemi che sono in corrispondenza biunivoca con un certo insieme A. Questa definizione è molto più intuitiva di quella di Peano, dove il numero non viene definito, ma preso come ente primitivo, ma in questo modo abbiamo preso come enti primitivi il concetto di insieme e quello di corrispondenza, cioè abbiamo solo aggirato, non risolto, il problema.
Passiamo ora agli insiemi infiniti. Il grande matematico G. Cantor intuì che proprio attraverso una corrispondenza biunivoca si può stabilire una gerarchia tra gli insiemi infiniti. Utilizzando questa strada chiamiamo numerabile ogni insieme, infinito ovviamente, che possa essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali, per il quale cioè si possa fornire un procedimento che consenta di contare i suoi elementi, o meglio, di ordinarli in una successione.
Tutto ciò però pone il grave problema di definire un insieme infinito e uno finito, una volta definito uno, per esempio l'insieme finito, si potrà definire l'altro come il contrario del primo, un insieme infinito sarebbe dunque uno non finito. Il problema è cioè definire uno di questi due tipi di insieme. Paradossalmente è più facile definire un insieme infinito: un insieme infinito è un insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio (cioè diverso dall'insieme di partenza). Secondo questa definizione l'insieme dei numeri naturali, che è infinito, può essere messo in corrispondenza biunivoca con, per esempio, l'insieme dei numeri pari.
Possiamo, a questo punto, parlare di cardinalità o potenza di un insieme infinito, in particolare l'insieme dei numeri naturali si dice che ha cardinalità, o potenza, del numerabile, e diciamo che la sua cardinalità vale alef zero. Si può dimostrare che ogni sottoinsieme dei numeri naturali, a patto che ovviamente sia infinito, è numerabile, così sono insiemi numerabili quello dei numeri pari, dei dispari, dei numeri primi, dei quadrati perfetti… in pratica esistono tanti numeri pari quanti numeri naturali, per quanto possa sembrare strano.
Viene ora da chiederci se esistono insiemi con cardinalità maggiore di quello dei numeri naturali, in effetti si può dimostrare che sia l'insieme dei numeri relativi che quello dei numeri razionali hanno la cardinalità del numerabile, mentre quello dei numeri reali ha cardinalità maggiore. In parole povere esistono tanti numeri razionali quanti sono i naturali, ma i reali sono di più, solo tra 0 e 1 vi sono più reali che naturali. Inoltre si dimostra che l'insieme dei numeri algebrici (quei numeri, cioè, che sono soluzione di una qualche equazione algebrica) hanno la cardinalità del numerabile, e poiché l'unione di due insiemi che ha la cardinalità del numerabile ha ancora la cardinalità del numerabile si deduce che l'insieme dei numeri trascendenti (quelli che non sono soluzione di nessuna equazione algebrica) ha la cardinalità di tutti i numeri reali, si dice che ha la cardinalità del continuo.
Da qui nascono diverse questioni: in primo luogo esistono insiemi che hanno cardinalità superiore a quella del continuo? Cantor dimostrò che a partire da un insieme infinito, con cardinalità alef n, si può sempre passare a un insieme con cardinalità maggiore, la cui cardinalità sarà alef n + 1 in questo modo alef n + 1 = 2^(alef n), nella teoria degli insiemi questo significa costruire a partire da un insieme il suo così detto insieme potenza, un particolare insieme determinato dall'insieme di partenza, che ha sempre più elementi dell'insieme di partenza. Questo porta a un paradosso: se consideriamo l'insieme, detto universo, che contiene tutti gli insiemi non potrà mai esistere un insieme con cardinalità maggiore di questo, ma allora il suo insieme potenza? La moderna teoria degli insiemi risponde a questa domanda dicendo che l'insieme universo non deve essere considerato come un vero insieme, non è quindi possibile costruire il suo insieme potenza.
Un'altra importante questione sollevata da tutte queste considerazioni è la seguente: tra un insieme e il suo insieme potenza esistono altri insiemi infiniti con cardinalità intermedie?Un insieme che ha cardinalità del continuo è l'insieme potenza di un insieme che ha la cardinalità del numerabile? Cantor credeva che la risposta alla prima domanda era negativa, mentre la seconda risposta era positiva, ma non riuscì a dimostrarlo, in effetti nel nostro secolo si si dimostrò che queste ipotesi, riassunte nella così detta ipotesi del continuo, non sono dedicibili , cioè è possibile costruire una matematica sia assumendo vera l'ipotesi del continuo sia assumendola falsa.
Cantor insomma aveva in questo modo ideato un insieme di nuovi "numeri": alef zero, alef 1… alef n che gli chiamò numeri cardinali transfiniti per distinguerli in modo immediato da quelli che vengono abitualmente chiamati numeri. Questi nuovi numeri hanno caratteristiche e operazioni del tutto nuove e in parte sconcertanti.
Persino lo stesso Cantor rimase allibito dalle sue scoperte, che qui non tratteremo oltre, al punto che, è noto, pronunciò, riguardo le sue scoperte: "Lo vedo ma non lo credo."
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