A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$int_{-infty}^{+infty} (frac{sin(x)}{x})^3 dx$

 


La funzione integranda è prolungabile per contiinuità in $x=0$, dato che

 

$lim_{x to 0^{-}} (frac{sin(x)}{x})^3 = lim_{x to 0^{+}} (frac{sin(x)}{x})^3 = 1$

 

Dato che tale funzione è pari l’integrale di partenza può anche essere riscritto in questa forma

 

$int_{-infty}^{+infty} (frac{sin(x)}{x})^3 dx = 2  int_{0}^{+infty} (frac{sin(x)}{x})^3 dx$

 

Dunque l’integrale di partenza converge se e solo se risulta convergente

 

$int_{0}^{+infty} (frac{sin(x)}{x})^3 dx$

 

Per prima cosa si nota che la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, dato che

 

$lim_{x to +infty} (frac{sin(x)}{x})^3 = 0$

 

Si consideri la funzione

 

$f(x) = {(1, "se " 0 le x le 1),(frac{1}{x^3}, "se " x > 1):}$

 

Per $x > 1$ si nota che

 

$frac{1}{x^3} – |frac{sin^3(x)}{x^3}| = frac{1 – |sin^3(x)|}{x^3} ge 0$

 

ovvero

 

$frac{1}{x^3} ge (frac{|sin(x)|}{x})^3$ (1)

 

dato che il seno è una funzione limitata fra $-1$ e $1$. La derivata prima di $(frac{sin(x)}{x})^3$ vale

 

$3 (frac{sin(x)}{x})^2 frac{x cos(x) – sin(x)}{x^2} = 3 cos(x) (frac{sin(x)}{x})^2 frac{x – "tg"(x)}{x^2}$

 

Per $0 < x < 1$ (in cui vale $|sin(x)| = sin(x)$) risulta

 

$cos(x) > 0$

 

$(frac{sin(x)}{x})^2 > 0$ perché un quadrato non è mai negativo

 

Dallo sviluppo in serie di Taylor della tangente si nota che per $0 < x < 1$ risulta

 

$"tg"(x) > x$

 

Dunque la derivata prima di  $(frac{|sin(x)|}{x})^3$ per $0 < x < 1$ è sempre negativa, quindi, considerato che in tale intervallo la funzione è monotona descrescente, e considerando che per $x to 0$ risulta $(frac{sin(x)}{x})^3 to 1$, si può concludere che

 

$1 ge  (frac{|sin(x)|}{x})^3$ per $x in (0,1)$ (2)

 

Confrontando (1) e (2) si nota che

 

$f(x) ge (frac{|sin(x)|}{x})^3$per $x > 0$

 

dunque, se

 

$int_{0}^{+infty} f(x) dx$

 

converge, allora converge anche

 

$int_{0}^{+infty} (frac{|sin(x)|}{x})^3 dx$

 

per il criterio del confronto, di conseguenza risulta pure convergente

 

$int_{0}^{+infty} (frac{sin(x)}{x})^3 dx$

 

per via del criterio della convergenza assoluta. 

 

$int_{0}^{+infty} f(x) dx = int_{0}^{1} dx + int_{1}^{+infty} frac{1}{x^3} dx = 1 – frac{1}{2} [frac{1}{x^2}]_{1}^{+infty} = 1 – frac{1}{2} (-1) = frac{3}{2}$

 

Dato che tale integrale converge, allora anche

 

$int_{-infty}^{+infty} (frac{sin(x)}{x})^3 dx = 2 int_{0}^{+infty} (frac{sin(x)}{x})^3 dx$

 

converge. Per calcolare il valore dell’integrale iniziale conviene porre $x = pi t$, da cui $dx = pi dt$, ottenendo

 

$pi int_{-infty}^{+infty} (frac{sin(pi t)}{pi t})^3dt$

 

Siano $x(t)$ e $y(t)$ due funzioni trasformabili secondo Fourier, allora, per l’identità di Parseval, vale

 

$int_{-infty}^{+infty} x(t) y^{**}(t) dt = int_{-infty}^{+infty} X(f) Y^{**}(f) df$

 

dove l’esponente $**$ indica l’operatore di coniugazione complessa, $X(f) = mathcal{F}{x(t)}$, $Y(f) = mathcal{F}{y(t)}$ e $mathcal{F}{cdot}$ indica l’operatore trasformata di Fourier.

L’integrale iniziale, sfruttando l’identità di Parseval, si può riscrivere così

 

$pi int_{-infty}^{+infty} frac{sin(pi t)}{pi t} (frac{sin(pi t)}{pi t})^2 dt = pi int_{-infty}^{+infty} mathcal{F}{frac{sin(pi t)}{pi t}} (mathcal{F}{(frac{sin(pi t)}{pi t})^2})^{**} df$

 

Considerando che

 

$mathcal{F}{frac{sin(pi t)}{pi t}} = "rect"(f)$

 

$mathcal{F}{(frac{sin(pi t)}{pi t})^2} = "tr"(f)$

 

dove

 

$"rect"(f) = {(1, "se " |f| < frac{1}{2}),(0, "altrimenti"):}$

 

$"tr"(f"") = {(1 – |"f"|, "se " |"f"| < 1),(0, "altrimenti"):}$

 

l’inetgrale iniziale equivale a

 

$pi int_{-infty}^{+infty} "rect"(f) "tr"(f) df = pi int_{-frac{1}{2}}^{frac{1}{2}} (1 – |f|) df =$

 $ = pi int_{-frac{1}{2}}^{0} (1 + f)df + pi int_{0}^{frac{1}{2}} (1 – f)df = pi [f + frac{f^2}{2}]_{-frac{1}{2}}^{0} + pi [f – frac{f^2}{2}]_{0}^{frac{1}{2}} = $

$ = pi (+ frac{1}{2} – frac{1}{8}) + pi (frac{1}{2} – frac{1}{8}) = pi (frac{1}{2} – frac{1}{8} + frac{1}{2} – frac{1}{8}) = pi (1 – frac{1}{4}) = frac{3}{4} pi$

 

Dunque

 

$int_{-infty}^{+infty} (frac{sin(x)}{x})^3 dx = frac{3}{4} pi$

 

FINE