A cura di: Gianni Sammito

Calcolare:

 

$int_{1}^{2} x^2 (3 – frac{1}{x} sin(x^2)) dx$


La funzione integranda, definita per $x ne 0$, è continua nel suo dominio, perché ottenuta per composizione di funzioni continue. Dato che $0 notin [1,2]$ la funzione $x^2(3 – frac{1}{x} sin(x^2))$ è integrabile in $[1, 2]$, e risulta
$int_{1}^{2} x^2  (3 – frac{1}{x} sin(x^2)) dx = int_{1}^{2} (3x^2 – x sin(x^2))dx = int_{1}^{2}3x^2 dx – int_{1}^{2} x sin(x^2)dx$
$int_{1}^{2} 3x^2 = x^3|_{1}^{2} = 8 – 1 = 7$
$int_{1}^{2} x sin(x^2)dx = frac{1}{2} int_{1}^{2} 2x sin(x^2) dx = -frac{1}{2} cos(x^2)|_{1}{2} = -frac{1}{2} (cos(4) – cos(1))$
Pertanto
$int_{1}^{2} x^2 (3 – frac{1}{x} sin(x^2)) dx = 7 – (-frac{1}{2} (cos(4) – cos(1))) = 7 + frac{1}{2} cos(4) – frac{1}{2} cos(1)$
FINE