A cura di: Stefano Sannella
Determinare $intint_S ydS$ dove $S$ è quella parte di superficie $z=x^2$ che si trova nel primo ottante dello spazio tridimensionale e dentro il paraboloide $z=1-3x^2-y^2$
L’intersezione delle due superfici e’ l’ellisse di equazioni :
${(z=x^2),(4x^2+y^2=1):}$
che si proietta sul piano xy (z=0) nell’ellisse
${(z=0),(4x^2+y^2=1):}$
da cui ,tenuto conto che si opera nel primo ottante,
scaturiscono le limitazioni : $0<=x<=1/2,0<=y<=sqrt(1-4x^2)$
Ora le equazioni parametriche della superficie data sono:
${(x=u),(y=v),(z=u^2):}$
Pertanto ,facendo uso delle notazioni classiche (non vettoriali), si ha:
$dsigma =sqrt(1+z_u^2+z_v^2)dudv=sqrt(1+4u^2)dudv$ con $(u,v)$ variabile
nell’insieme B definito da $0<=u<=1/2,0<=v<=sqrt(1-4x^2)$
Ne segue che l’integrale T richiesto e’ :
$T=intint_Bvdsigma =int_0^(1/2)sqrt(1+4u^2)duint_0^(sqrt(1-4u^2))vdv$
Ovvero:
$T=1/2int_0^(1/2)(1-4u^2)sqrt(1+4u^2)du$
Conviene porre $u=1/2sinht$ in modo che,ricordando varie proprieta’ delle funzioni iperboliche,
T si trasforma in:
$T=1/4int_0^(ln(sqrt2+1))(cosh^2t-sinh^2tcosh^2t)dt$
Oppure:
$T=1/8int_0^(ln(sqrt2+1))[1+cosh(2t)]dt-1/(32)int_0^(ln(sqrt2+1))[cosh(4t)-1]dt$
Ed integrando:
$T=1/8|t+1/2sinh(2t)|_0^(ln(sqrt2+1))-1/(32)|1/4sinh(4t)-t|_0^(ln(sqrt2+1))$
Effettuando tutti i calcoli si trova il risultato finale:
$T=[sqrt2+5ln(sqrt2+1)]/(32)$
FINE
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