A cura di: Stefano Sannella

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Calcolare 

$int(log^3(x)-5)/(3x*(log^2(x)-1))dx$


 

Procediamo con la sostituzione di $log(x)=t$, e per la definizione di logaritmo ottengiamo: $e^t=x$, differenziando per trovare $dx$   si ha $e^t*dt=dx$.
Sostituendo e semplificando, ricaviamo l’integrale:

$(1/3)*int(t^3-5)/(t^2-1)dt$

dividendo $(t^3-5)/(t^2-1)$ otteniamo $t+(t-5)/(t^2-1)$

per quanto riguarda $t$ l’integrale è immediato, invece la parte $(t-5)/(t^2-1)$ occorrerà dividerla in due frazioni che portano ad avere i due integrali:

$2*int1/(1-t)dt$ e $3*int1/(1+t)dt$

in definitiva otteniamo integrando:

$(1/3)*[(t^2/2)-2*log(1-t)+3*log(1+t)]+c$

A questo punto, facendo uso di un paio di proprietà dei logaritmi per rendere la forma più compatta,

$(1/3)*[t^2/2+log((1+t)^3/(1-t)^2)]+c$

Ora non resta che tornare alla variabile inziale, quindi risostituendo abbiamo la famiglia di primitive

$(1/3)*[(log^2x)/2+log((1+log(x))^3/(1-log(x))^2)]+c$ al variare di $c$ in $RR$