L'aritmetica è quella branca della matematica che studia le quattro operazioni fondamentali, molti la pensano come la parte più facile della matematica, di gran lunga meno "ostica" dell'odiata algebra, ma in realtà l'aritmetica moderna, detta anche superiore, ha ormai raggiunto un tale livello di sviluppo da essere incomprensibile se non ai matematici specializzati. Ovviamente non possiamo esporre qui niente di simile, ma dopo tutto anche una trattazione dei normali argomenti di aritmetica risulterebbe del tutto noiosa e di fatto inutile, piuttosto è più interessante vedere quali sono gli assiomi su cui si basa l'aritmetica. Infatti quando svolgiamo i normali calcoli ci basiamo sempre su degli assiomi, che sono talmente evidenti che nessuno si è mai sognato di andare a chiarire, ma ovviamente i matematici hanno formalizzato il tutto, utilizzando il minor numero di assiomi, vediamo come.
Per costruire tutta la complessa struttura dell'aritmetica sono sufficienti questi assiomi.
Per qualsiasi coppia di numeri m, n si ha: m + n = n + m e inoltre mn = nm.
Per qualsiasi terna di numeri m, n, k si ha: (m + n) + k = m + (n + k) e inoltre (mn)k = m(nk).
Per ogni terna di numeri m, n, k si ha: m(n + k) = mn + mk.
Esiste un numero, che scriviamo 0 tale che, per ogni n: n + 0 = n.
Esiste un numero, che scriviamo 1, tale che, per ogni n: n x 1 = n.
Per ogni numero n esiste un altro numero k tale che: n + k = 0.
Per ogni terna di numeri m, n, k se k <> 0 (questa notazione significa: k diverso da 0) e se kn = km allora m = n.
Utilizzando solo questi assiomi si può dimostrare un qualsiasi teorema dell'aritmetica, ricavando molte altre proprietà; per esempio dimostriamo che se m + k = n + k allora m = n.
Per cominciare stabiliamo che m + k = n + k per l'assioma 6 sappiamo che esiste un numero l tale che l + k = 0; aggiungendo l a entrambi i membri (questo lo possiamo fare in virtù di un teorema che qui non dimostriamo) si ha (m + k) + l = (n + k) + l ma, per l'assioma 2 si ha m + (k + l) = n + (k + l) poiché l + k = 0 abbiamo m + 0 = n + 0 ma per l'assioma 4 m = n che è quello che si voleva dimostrare (quello che si vuole dimostrare si chiama tesi, la presupposizioni dalle quali si parte sono invece le ipotesi).
In modi simili a questo, anche se ovviamente non così semplici, si possono dimostrare moltissimi teoremi dell'aritmetica.
Sembra dunque tutto a posto, ma pensandoci bene si trova una pecca. Abbiamo detto che m, n, k, l… sono numeri, ma non abbiamo detto che cosa sia un numero, e anche se la cosa può sembrare del tutto superflua dobbiamo ammettere che ciò è un anello debole nella catena di ragionamenti, e a rigor di logica non possiamo utilizzare degli oggetti che non abbiamo definito. Per questo motivo i matematici hanno da sempre sentito il bisogno di definire rigorosamente il concetto di numero. Sembrerà strano ma il tipo più difficile di numeri da definire è quello dei numeri naturali (esiste un sistema assiomatico, quello cantoriano, che li definisce in modo semplice vedi infinito) , infatti a partire da questi si può definire tutti gli altri tipi di numero, quelli razionali e relativi come coppia ordinata di numeri, prima naturali e poi relativi, invece per i numeri reali si segue un percorso più complesso; ma il problema resta quello di definire i numeri naturali, come abbiamo visto nella parte sulla logica nella matematica moderna si tende a non definire gli oggetti primitivi con i quali si lavora, e così si fa anche per i numeri naturali. Il sistema assiomatico dei numeri naturali fu costruito dal matematico italiano Giuseppe Peano. In questo sistema assiomatico non viene definito il concetto di numero, che è ritenuto primitivo; vediamo in dettaglio quali sono i cinque assiomi di Peano.
0 è un numero.
Se a è un numero allora lo è anche il successivo di a.
0 non è il successivo di alcun numero.
Due numeri i cui successivi sono uguali sono loro stessi uguali.
Se un insieme S di numeri è tale che:
S contiene 0.
per ogni a di S il successivo di a appartiene anch'esso a S.
allora ogni numero è contenuto in S.
I primi quattro assiomi sono abbastanza semplici, per prima cosa ci viene assicurato che l'insieme dei numeri naturali non è vuoto, poi viene introdotta la funzione "successivo" che ci dice che l'insieme dei numeri naturali è infinito, ci viene garantita l'esistenza di un primo numero, il quarto assioma infine introduce l'uguaglianza logica (cioè del significato indipendentemente dai simboli p.e. 5 + 2 = 7) tra numeri.
Il quinto assioma è chiaramente il più complesso, e porta anche delle importantissime conseguenze riguardanti l'induzione matematica.
Così come per la logica, anche per l'aritmetica ho una serie di problemi, alcuni dei quali quasi del tutto sconosciuti, se sei interessato vai alla pagina dei problemi di aritmetica.
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