Le disequazioni goniometriche

DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE. Le disequazioni goniometriche, o trigonometriche, sono del tipo f(x)g(x) in cui almeno una della due funzioni è una funzione trigonometrica (seno, coseno, tangente, etc…) che abbia per argomento l’incognita x; quindi disequazioni che hanno per incognita l’angolo.

Esempio:

5x – sin π/4 > 0   non è una disequazione trigonometrica
sinx – 1/2 > 0     è una disequazione trigonometrica

Per poter risolvere questo tipo di disequazioni ovviamente bisogna avere dei prerequisiti di base come saper risolvere disequazioni algebriche, conoscere le funzioni goniometriche e le loro caratteristiche, conoscere le relazioni fondamentali della trigonometria.
Come in quelle algebriche, anche nelle disequazioni goniometriche risolverla significa determinare quei valori dell’incognita (in questo caso gli angoli) che verificano la disequazione stessa.
I metodi di risoluzione sono molti, ma dipendono dal tipo di disequazione che abbiamo davanti. Per le più semplici basta il metodo grafico, quindi attraverso la circonferenza goniometrica; altre attraverso la relazione fondamentale della trigonometria o le formule parametriche di seno e coseno.
Prima di tutto vediamo come si risolvono le disequazioni goniometriche elementali, ovvero del tipo:
sin (x) ? c , cos x ? c  e tutte le altre funzioni trigonometriche;
Con c indichiamo una qualunque costante.

Facciamo qualche esempio.

Esempo 1. sinx ≥  1/2 

Possiamo disegnare la circonferenza trigonometrica così da visualizzare il risultato.
Su di essa tracciamo la retta di equazione y = 1/2 (linea rossa).

Visto il segno maggiore uguale dobbiamo prendere i punti della circonferenza al di sopra della retta y=1/2. A questo punto risolviamo l’equazione trigonometrica associata:

sinx=1/2

x=π/6 + 2kπ    ∨   x=5/6 π+2kπ   con  k ∈ Z

La disequazione sarà soddisfatta per valori della x:

π/6 + 2kπ ≤ x ≤ 5/6 π + 2kπ   con  k ∈ Z

Se il segno fosse stato minore allora dovevamo prendere i valori della circonferenza al di sotto della retta y=1/2, stando attenti ad elencare gli angoli partendo da zero, la soluzione sarebbe stata:

0 < x < π/6 + 2kπ   ∨    5/6 π + 2kπ < x < 2π + 2kπ   con  k ∈ Z

Esempio 2. cosx > 1/2

Anche qui possiamo disegnare la circonferenza trigonometrica e la retta di equazione x=1/2, per visualizzare il risultato.

Vista la presenza del segno maggiore dobbiamo prendere i punti della circonferenza che stanno alla destra della retta x=1/2. Ma prima troviamo il risultato dell’equazione associata:

cosx = 1/2

x = π/3 + 2kπ   ∨   x = 5/3 π + 2kπ   con  k ∈ Z

Quindi la soluzione della disequazione trigonometrica sarà:

0 < x < π/3 + 2kπ   ∨    5/3 π + 2kπ < x < 2π + 2kπ   con k ∈ Z

 

Esempio 3. tanx > 1

Disegnando il grafico della tangente e la retta di equazione y=1 (in rosso) possiamo visualizzare il tutto.

Visto il segno maggiore dobbiamo prendere quei punti del grafico che stanno sopra la retta disegnata, quindi andiamo prima a risolvere l’equazione associata:

tanx = 1

x=π/4 + kπ   con  k ∈ Z

Quindi la soluzione della disequazione sarà:

π/4 + kπ < x < π/2 + kπ   con  k ∈ Z

 

DISEQUAZONI TRIGONOMMETRICHE NON ELEMENTARI. Ora passiamo a disequazioni trigonometriche non elementari facendo sempre un paio di esempi:

sinx  -√3 cosx > √3

Usiamo il così detto metodo dell’angolo ausiliario ricostruendo nell’equazione il coseno e seno di un angolo noto.
In questo caso possiamo dividere tutto per 2 che sarebbe anche 

così avremo il seno e coseno di π/3.

O usando la formula di sottrazione del seno possiamo scrivere:

Facciamo un cambio di variabile: t=x-π/3
sint > sin π/3

Usando la circonferenza trigonometrica, otteniamo la soluzione:

π/3+2kπ<t<2/3 π+2kπ   con k∈Z

<tRitornando alla variabile x:</t

2/3 π+2kπ<x<(2k+1)π   con k∈Z

 

<x</x

Esempio 2. sin x² + 3 sinx + 1 < 0

Possiamo ottenere una disequazione algebrica sostituendo sinx = t.
2t² +3t + 1 < 0

Risolvendo l’equazione algebrica associata, e considerando il segno della nostra disequazione la soluzione sarà:
-1<t Quindi sostituendo avremo:
-1<sin?x che sempre tramite il metodo grafico possiamo vedere ha soluzione nell’arco di cerchio compreso tra 210° e 330°, ovvero:</sin?x</t

<t<sin?x7/6 π+2kπ<x </x</sin?x</t

Questi sono solo alcune esempi di come si possono risolvere disequazioni goniometriche, ma come detto prima si possono sfruttare tutte le formule trigonometriche.