A cura di: Stefano Sannella
Un punto materiale P si muove di moto rettilineo e la sua velocità $v$ è direttamente proporzionale all’ascissa $x$ di P sulla retta,calcolata a partire da un punto O, preso come origine.
Si ha quindi $v=kx$ dove $k$ è una costante assegnata.
Determinare la posizione del Punto P in funzione del tempo (legge oraria), sapendo che, nell’istante $t=0$ la posizione di P
$x=1$
L’equazione ce la dà il problema.
$v(t)=k*x(t)$
Per definizione di velocità che $v(t)=dot x(t)$
quindi ci si riconduce a una semplice equazione differenziale del primo ordine.
Un modo di procedere è questo
$dot x(t)-kx(t)=0$
moltiplicando ambo i membri per $e^(-kt)$
ottieniamo
$e^(-kt)dot x(t)-k*e^(-kt)*x(t)=0$
ovvero, riconoscendo la derivata del prodotto,
$(d[e^(-kt)x(t)])/dt=0$
Integrando in $"d"t$
$e^(-kt)x(t)=c$
cioè
$x(t)=c*e^(kt)$
Ora $c$ lo possiamo determinare con la condizione iniziale del problema.
$x(0)=c*e^(k*0)=c=1$
Quindi si ha
$x(t)=e^(kt)$
FINE
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