Libro Fondamenti di Fisica Halliday - Capitolo 19 Problema 9

L’aria che inizialmente occupa un volume di 0,14m³ a una pressione relativa di 1,030×10⁵Pa viene espansa isotermicamente alla pressione atmosferica di 101,3kPa e poi raffreddata a pressione costante finchè raggiunge il suo volume iniziale. Calcolare il lavoro svolto dall’aria. La pressione relativa è la differenza di pressione tra la pressione reale e quella atmosferica.

Risoluzione

Nella trasformazione isoterma AB si ha:

[{L_{AB}} = intlimits_A^B {pdV = } intlimits_A^B {frac{{nR{T_A}}}{V}dV = } nR{T_A}ln left( {frac{{{V_B}}}{{{V_A}}}} right)]

Successivamente si ha:

[{{rm{p}}_{rm{A}}}{{rm{V}}_{rm{A}}} = {rm{nR}}{{rm{T}}_{rm{A}}}]

[Equazione di stato dei gas ideali]

[{{rm{p}}_{rm{A}}}{{rm{V}}_{rm{A}}} = {{rm{p}}_{rm{B}}}{{rm{V}}_{rm{B}}} Rightarrow frac{{{{rm{V}}_{rm{B}}}}}{{{{rm{V}}_{rm{A}}}}} = frac{{{{rm{p}}_{rm{A}}}}}{{{{rm{p}}_{rm{B}}}}}]

Quindi:

[{{rm{L}}_{{rm{AB}}}} = {{rm{p}}_{rm{A}}}{{rm{V}}_{rm{A}}}{rm{ln}}left( {frac{{{{rm{p}}_{rm{A}}}}}{{{{rm{p}}_{rm{B}}}}}} right)]

Nella trasformazione isobara BC, il lavoro viene calcolato come segue:

[{{rm{L}}_{{rm{BC}}}} = {{rm{p}}_{rm{B}}}Delta V = {{rm{p}}_{rm{B}}}left( {{{rm{V}}_{rm{C}}} – {{rm{V}}_{rm{B}}}} right)]

Quindi:

[{{rm{L}}_{{rm{BC}}}} = {{rm{p}}_{rm{B}}}left( {{{rm{V}}_{rm{C}}} – {{rm{V}}_{rm{B}}}} right) =  – {{rm{p}}_{rm{B}}}left( {{{rm{V}}_{rm{B}}} – {{rm{V}}_{rm{A}}}} right) =  – {{rm{p}}_{rm{A}}}{{rm{V}}_{rm{A}}} + {{rm{p}}_{rm{B}}}{{rm{V}}_{rm{A}}}]

Sommando il tutto ed inserendo i valori dati dal problema si ha:

[{rm{L}} = {{rm{L}}_{{rm{AB}}}} + {{rm{L}}_{{rm{BC}}}} = {{rm{p}}_{rm{A}}}{{rm{V}}_{rm{A}}}{rm{ln}}left( {frac{{{{rm{p}}_{rm{A}}}}}{{{{rm{p}}_{rm{B}}}}}} right) – {{rm{p}}_{rm{A}}}{{rm{V}}_{rm{A}}} + {{rm{p}}_{rm{B}}}{{rm{V}}_{rm{A}}} = {rm{5644J}}]