$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+\sqrt{n}+1}{\sqrt{n^2+n+1}}$

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Il limite si presenta in forma indeterminata $frac{infty}{infty}$

Raccogliendo a numeratore e a denominatore $n$ e semplificando si ha

$lim_{nrightarrowinfty}frac{n+sqrt{n}+1}{sqrt{n^2+n+1}}=$

$ lim_{nrightarrowinfty} frac{ncdot(1+frac{1}{sqrt{n}}+frac{1}{n})}{sqrt{n^2cdot(1+frac{1}{n}+frac{1}{n^2})}}=$

$lim_{nrightarrowinfty} frac{n}{|n|}cdotfrac{1+frac{1}{sqrt{n}}+frac{1}{n}}{sqrt{1+frac{1}{n}+frac{1}{n^2}}}=1$