$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-cosx)/x^2$

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli il limite seguente

Proponiamo due strade da seguire per arrivare al risultato

1°MODO

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-cosx)/x^2$

Il fine è questo: ricondursi ai limiti notevoli.

Ad esempio, sommando e sottraendo $1$ al numeratore, non alteriamo la funzione, e otteniamo

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1+1-cosx)/x^2$

A questo punto possiamo "spezzare" la frazione in due

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/x^2+(1-cosx)/x^2$

Ora eseguiamo quest’altro artificio: moltiplichiamo e dividiamo per $sen^2x$ il denominatore della prima frazione

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/((sen^2 x )*x^2/(sen^2x)) +(1-cosx)/x^2$

adesso si calcolano i limiti separatamente, usando i limiti notevoli, e si ottiene

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/(sen^2 x )=1$

$lim_(x->0)x^2/(sen^2x)=1$

$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$

da cui

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/((sen^2 x )*x^2/(sen^2x)) +(1-cosx)/x^2=1/1+1/2=3/2$

2°Modo

Usando la regola di de l’Hopital, avremo

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-cosx)/x^2=lim_(x->0)(2e^(sen^2x)senxcosx+senx)/(2x)=lim_(x->0)(senx)/x(2e^(sen^2x)cosx+1)1/2=3/2$

FINE