$lim_(x->0)[x(e^x-1)]/[sinx*ln(1+5x)]$

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli il limite che segue
$lim_(x->0)[x(e^x-1)]/[sinx*ln(1+5x)]$

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Può essere riconosciuta con relativa semplicità la presenza di alcuni limiti notevoli.
Proviamo infatti a riscrivere il limite in questa forma
$lim_(x->0) (e^x-1)/x*x/sinx*x/ln(1+5x)$
Questo limite è analogo al precedente, si è giusto moltiplicato e diviso per un termine $x$

Ora passiamo a ricordare un paio di limiti noti
$lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$
$lim_(x->0) x/sinx=1$

Inoltre possiamo anche lavorare sulla terza frazione
$lim_(x->0) x/ln(1+5x)$
Moltiplicando i numeratore per $5$ e contemporaneamente per $1/5$ fuori dal limite, otteniamo
$1/5*lim_(x->0) (5x)/ln(1+5x)=1/5*1=1/5$
per il famoso limite notevole
$lim_(y->0) y/ln(1+y)=1$
Nel limite proposto il nostro $y$ sarebbe $5x$, che ugualmente va a zero perché $x$ va a zero.

Riassumendo possiamo affermare che
$lim_(x->0)[x(e^x-1)]/[sinx*ln(1+5x)]=1*1*1/5=1/5$

FINE