$lim_(x->1^-) e^(1/(x-1))(1-x/((x-1)^2))$

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli
$lim_(x->1^-) e^(1/(x-1))(1-x/((x-1)^2))$

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Iniziamo con lo svolgere la somma nella parentesi
$lim_(x->1^-) e^(1/(x-1))(1-x/((x-1)^2))=lim_(x->1^-) (e^(1/(x-1)))(x^2-2x+1-x)/(x-1)^2$

Il numeratore della frazione non fa parte della forma indeterminata perchè vale $-1$, rimane dunque da calcolare 
$lim_(x->1^-) (e^(1/(x-1)))/(x-1)^2$
Ora possiamo porre, per comodità,
$1/(x-1) =t$  notando che a questo punto $t->-oo$
Si ottiene dunque
$lim_(t-> -oo) t^2 e^t=lim_(t-> -oo) t^2/ e^(-t)=$
Applicando il teorema di De Hopital otteniamo
$=lim_(t-> -oo) (2t)/(- e^(-t))=$
Derivando nuovamente
$= lim_(t-> -oo) 2/(e^(-t))=0$

In definitiva
$lim_(x->1^-) e^(1/(x-1))/(x-1)^2(x^2-3x+1)= 0*(-1)=0$

 

FINE