A cura di: Stefano Sannella
Calcolare il seguente limite
$lim_(x->oo)ln(1+1/(2x))/[1-e^(1/x)]$
Per semplificare la forma operiamo una sostituzione
$t=1/(2x)$
E’ quindi evidente che se
$x->oo$
si ha che
$t->0$
A questo punto il limite diventa
$lim_(t->0)ln(1+t)/[1-e^(2t)]$
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $2t$ con lo scopo di far apparire dei limiti notevoli
$lim_(t->0)ln(1+t)/t*(2t)/[1-e^(2t)]*1/2$
Ora si osserva che
$lim_(t->0)ln(1+t)/t=1$
e che
$lim_(t->0)[2t]/(e^(2t)-1)=1$
Nel nostro caso in realtà abbiamo
$(2t)/[1-e^(2t)]$ ma non è un problema, basta mettere un meno in evidenza, ottenendo
$-(2t)/[e^(2t)-1]$
Quindi, usando tali risultati nel nostro caso, possiamo facilmente concludere in questo modo
$lim_(t->0)ln(1+t)/t*(2t)/[1-e^(2t)]*1/2=1*(-1)*1/2=-1/2$
FINE
- Esercizi sui Limiti