$lim_(x rightarrow 0) (1-sin2x)^(1/ln(1+5x))$

A cura di: Stefano Sannella

{etRating 4}  (Riferito a uno studente di scuola superiore).

Si calcoli
$lim_(x rightarrow 0) (1-sin2x)^(1/ln(1+5x))$

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Generalmente, si procede sfruttando il fatto che
$f(x)^g(x)=e^(lnf(x)*g(x)$, pertanto abbiamo
$lim_(x rightarrow 0) (1-sin(2x))^(1/ln(1+5x)) = lim_(x rightarrow 0) e^(ln( 1-sin(2*x))/ln(1+5*x)) = e^(lim_(x rightarrow 0) ln( 1-sin(2*x))/ln(1+5*x))$

e quindi consideriamo il solo limite:

$lim_(x rightarrow 0) ln( 1-sin(2*x))/ln(1+5*x)$

Vista la forma $0/0$, sfruttiamo il fatto che se $x->0$ allora
$ln( 1-sin2x) approx -2x$ e
$ln(1+5x)approx 5x$

$lim_(x rightarrow 0) ln(1-sin2x)/ln(1+5x) = lim_(x rightarrow 0) (-2x)/(5x) = -2/5 $

Il risultato finale è dunque:

$lim_(x rightarrow 0) (1-sin(2x))^(1/ln(1+5x)) = e^(-2/5)$

FINE