$lim_(x to 0) ((e^x-cosx)x)/(sin^2x)$

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli il seguente limite

Prima di iniziare, ripassiamo questi tre importanti limiti notevoli

$lim_{x to 0} frac{sin(x)}{x}=1$

$lim_{x to 0} frac{e^x – 1}{x}=1$

$lim_{x to 0} frac{1 – cos(x)}{x}=0$

Passiamo al limite: procedendo per sostituzione, otteniamo una forma indeterminata $0/0$

Operiamo qualche modifica: ad esempio moltiplichiamo la frazione per un fattore $x/x$ si ottiene

$lim_(x to 0) ((e^x-cosx)x)/(sin^2x)*(x/x)$

$lim_(x to 0)((e^x-cosx))/(sin^2x)*(x^2/x)$

ovvero

$lim_(x to 0)(e^x-cosx)/x*x^2/(sin^2x)$

E’ evidente che la seconda frazione tende a $1$ in virtù del primo limite notevole.

Per quanto riguarda la prima frazione, proviamo a sommare e sottrarre $1$ a numeratore. Otteniamo

$lim_(x to 0)(e^x-1+1cosx)/x*(x^2/(sin^2x)$

Possiamo quindi "spezzare" la frazione in questo modo

$lim_(x to 0)((e^x-1)/x+(1-cosx)/x)*x^2/(sin^2x)$

A questo punto il limite è pressochè risolto: usando i tre limiti notevoli che abbiamo ricordato, si ottiene

$lim_(x to 0)((e^x-1)/x+(1-cosx)/x)*x^2/(sin^2x)=(1+0)*1=1$

FINE