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Il limite è in forma indeterminata: $-inftycdot 0$.

$lim_{xrightarrow 0^+} log xcdot log(1+frac{1}{log x})$

Posto $-log x = t$, risulta:

$lim_{trightarrow +infty} -tcdotlog(1+frac{(-1)}{t})=lim_{trightarrow +infty}-log(1+frac{(-1)}{t})^t=-log e^{-1} = 1$