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Il limite è in forma indeterminata $frac{0}{0}$

Posto $x+frac{pi}{2}=t$, per cui $trightarrow 0$ quando $xrightarrow -frac{pi}{2}$, si ottiene

$lim_{xrightarrow -pi/2}frac{cos x}{1+sin x} = lim_{trightarrow 0}frac{cos(t-frac{pi}{2})}{1+sin(t-frac{pi}{2})} =$

 

lim_{trightarrow 0}frac{sin t}{1-cos t} = lim_{trightarrow 0}(frac{sin t}{t}cdotfrac{1}{frac{1-cos t}{t^2}}cdotfrac{1}{t}) = infty