A cura di: Stefano Sannella
Si risolva il limite seguente
$lim_(xtoinfty) frac{xsin(1/x)-1}{1/x^2}$
Possiamo facilmente accorgerci che la forma è indeterminata.
Sostituendo infatti si ha
$lim_(xtoinfty) frac{xsin(1/x)-1}{1/x^2}=frac{1-1}{0}=frac{0}{0}$
Usiamo la regola di De L’Hopital.
Poniamo inoltre
$1/x=t$ con $t->0$
$lim_(xtoinfty) frac{xsin(1/x)-1}{1/x^2}=lim_(t->0) frac{1/tsint-1}{t^2}=lim_(t->0) frac{(sint-t)/t}{t^2}=lim_(t->0) frac{sint-t}{t^3}$
Negli ultimi due passaggi abbiamo sommato le frazioni al numeratore, poi abbiamo portato $t$ di sotto, facendo diventare $t^3$ il denominatore.
Ora possiamo passare alle derivate.
Si ha
$lim_(t->0) frac{sint-t}{t^3}=lim_(t->0) frac{cost-1}{3t^2}$
Portando fuori dal limite $1/3$
$1/3lim_(t->0) frac{cost-1}{t^2}=1/3lim_(t->0) -frac{1-cost}{t^2}$
E ricordando il limite notevole
$lim_(yto0) (1-cosy)/y^2=1/2$
si ottiene
$1/3lim_(t->0) -frac{1-cost}{t^2}=1/3*(-1/2)=-1/6$
Volendo, potremmo anche procedere con gli sviluppi asintotici, quindi
$lim_(t rarr0 ) ((sint/t)-1)/t^2$
che si trasforma in
$lim_(t rarr 0)((t-t^3/6)/t -1)/t^2 = -1/6 $
FINE
- Esercizi sui Limiti