A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli, in funzione dei parametri positivi $a,b,c,d$ il seguente limite

$lim_(xto+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d))$


Proponiamo due strade

1°modo

Usiamo De L’Hopital:

Partendo da

$lim_(xto+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d))$

otteniamo

$lim_(xto+oo)((-lna *root (x) (a))/(x^2)+ (lnb*root (x) (b))/(x^2))/((-lnc*root (x) (c))/(x^2)+(lnd*root (x) (d))/(x^2))$ (1)

Proviamo infatti a derivare

$root (x) (a)$,

Questa si può anche scrivere come

$a^(1/x)$ e anche come: $e^(ln(a)/x)$,

Derivando questa funzione con la regola:

$ dot (f(x)) * e^(f(x))$ otteniamo:

$-ln(a)/(x^2)*a^(1/x)$

che è esattamente la derivata riportata nell’uso della regola di De L’Hopital sopra.

Lavoriamo sulla forma trovatara (1): raccogliendo e semplificando $1/(x^2)$ si arriva a:

$lim_(xto+oo)((-lna *root (x) (a))+ (lnb*root (x) (b)))/((-lnc*root (x) (c))+(lnd*root (x) (d)))$

Ma a questo punto è fondamentale osservare che per $xto+oo$ allora $root (x) (n) to1$.

Pertanto all’argomento dei logaritmi rimangono solo $a,b,c,d$

In definitiva si ottiene: $lim_(xto+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d)) $ = $(lna – lnb)/(lnc-lnd)$

2°modo

Innanzitutto ricordiamo questa importante approssimazione: se $x->0$ allora si ha

$e^x-1approx x$

Ora eseguiamo qualche passaggio algebrico sulla funzione

Raccogliendo ad esempio $a^(1/x)$ al numeratore e $c^(1/x)$ al denominatore, si ha

$frac(a^(1/x)-b^(1/x))(c^(1/x)-d^(1/x))=frac(a^(1/x)(1-(b/a)^(1/x)))(c^(1/x)(1-(d/c)^(1/x)))$

Cambiando i segni del numeratore e del denominatore

$=(a/c)^(1/x)frac((b/a)^(1/x)-1)((d/c)^(1/x)-1)$

E ricordando che vale l’identità

$m^n=e^(n*lnm)$

si ottiene

$(a/c)^(1/x)frac(e^(frac(ln(b/a))(x))-1)(e^(frac(ln(d/c))(x))-1)$

sfruttando l’approssimazione detta sopra si ha che $e^(frac(ln (b/a))(x))-1$ vale circa $frac(ln (b/a))(x)$ ed inoltre $e^(frac(ln (d/c))(x))-1$ si approssima con $frac(ln (d/c))(x)$ mentre per $x->+infty$ si ha che $(frac(a)(c))^(1/x)->1$

In definitiva il imite completo tende quindi a

$frac(frac(ln (b/a))(x))(frac(ln (d/c))(x))=frac(ln (b/a))(ln (d/c))$

che è la stessa forma di prima, basta ricordare la proprietà importante dei logaritmi

$logk-logh=log(k/h)$

FINE