Il concetto di limite si presta molto bene a un'esposizione per non professionisti, in quanto intuitivamente non è molto difficile, anche se la sua formalizzazione ha presentato non pochi problemi ai matematici.
Immaginiamo una normale funzione, y = f(x) (vedi geometria analitica); se noi vogliamo calcolare il valore che assume la y quando la x diventa grandissima cosa possiamo fare? Intuitivamente possiamo immaginare che la x diventa infinitamente grande, ma infinito non è certo un numero che possiamo raggiungere operativamente; in questo caso possiamo usare l'operazione matematica chiamata appunto limite, che ci dice come si comporta la y quando la x tende a infinito, cioè diventa grandissima, senza ovviamente diventare effettivamente infinito. Per capire bene questo fatto possiamo dire che se noi troviamo un valore assunto dalla y quando la x in valore assoluto supera qualsiasi numero positivo arbitrariamente scelto da noi allora diciamo che quello è il limite di y per x che tende a infinito. Spesso accade che quando x tende a infinito anche la y tende a infinito, cioè anche la y diventa più grande di qualsiasi numero scelto. Si noti che si dice sempre che la x tende a un certo valore, cioè noi non sappiamo cosa succede quando la x diventa effettivamente infinitamente grande (e non c'è modo di saperlo), ma solo quando ci si avvicina quanto si vuole; la stessa cosa vale per la y, che non assume mai il valore che coincide con il limite, ma ci si avvicina solamente.
In questo modo possiamo dire che x tende a infinito, a + infinito (cioè è arbitrariamente grande ma positivo) o a – infinito (cioè è arbitrariamente grande ma negativo).
Tuttavia è anche possibile stabilire cosa succede quando x tende a un certo valore ben definito, e osservare a che valore tende allora la y. Per esempio consideriamo la retta di equazione y = x, per x che tende a infinito anche y tende a infinito, ma per x che tende a 2 che cosa succede? In questo caso si può dimostrare che facendo diventare la x arbitrariamente vicina a 2 anche la y diventa arbitrariamente vicina a 2, cioè il limite coincide con il valore della funzione. Questo però non è vero per tutte le funzioni, esistono funzioni per cui non è vero solo in alcuno punto, altre per cui non è vero in infiniti punti.
Vediamo un esempio del primo caso: consideriamo la funzione y = 1/x, per x = 0 la funzione non è definita, mentre per x che tende a 0 y tende a infinito, perché si dimostra che facendo avvicinare x arbitrariamente a 0 y diventa arbitrariamente grande, vediamo che i due valori sono differenti, in questo punto la funzione ha una discontinuità, se la funzione non presenta queste discontinuità si dice che essa è continua. Si può pensare che le discontinuità si presentino solo dove la funzione non è definita, invece esistono anche delle discontinuità diverse da queste, per esempio dove la funzione fa dei "salti bruschi".
Esistono dei punti in certe funzioni in cui non è possibile calcolare il limite, principalmente perché in questi punti si comporta molto "stranamente", vediamo come può non esistere il limite in questo modo: se immaginiamo di avvicinarci al punto arbitrariamente, ma da sinistra nel grafico otteniamo il limite sinistro della funzione in quel punto, similmente otteniamo il limite destro, se essi coincidono allora quello è il limite della funzione in quel punto, se invece non coincidono allora non vi è limite in quel punto, ma solo limite destro e sinistro.
Le funzioni continue hanno molta importanza nella matematica perché dotate di numerose proprietà, per esempio una funzione continua considerata in un intervallo assume tutti i valori compresi tra i valori assunti negli estremi dell'intervallo. Oppure si può sempre calcolare l'area sottesa dal grafico di una funzione continua. Queste ed altre proprietà rendono le funzioni continue le più semplici che si studiano in analisi, ma danno loro anche grande importanza.
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