A cura di: Stefano Sannella
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Si calcoli
$lim_(xto +oo) (1+1/(2x))^x$
Osservando il limite, non possiamo non pensare al classico limite notevole
$lim_(xto +oo) (1+1/x)^x=e$
Il limite può essere applicato solo se il coefficiente della $x$ al denominatore e della $x$ all’esponente è uguale, quindi solo se abbiamo
$lim_(xto +oo) (1+1/x)^x$
$lim_(xto +oo) (1+1/(2x))^(2x)$
$lim_(xto +oo) (1+1/(3x))^(3x)$
eccetera.
Per risolvere il limite proposto, dobbiamo quindi fare in modo che il termine al denominatore della frazione e l’esponente siano uguali.
Per fare ciò, eleviamo l’espressione tutta all’esponente $2/2$ (senza problemi, dato che $2/2=1$).
$lim_(xto +oo) (1+1/(2x))^x=lim_(xto oo) (1+1/(2x))^(x*2/2)=lim_(xto oo) (1+1/(2x))^(2x*1/2)=lim_(xto oo) ((1+1/(2x))^(2x))^(1/2)$
Abbiamo utilizzato note proprietà delle potenze.
A questo punto poniamo
$2x=t$ sapendo che anche $t$ tende a infinito.
$lim_(t-> +oo) [(1+1/t)^t]^(1/2)$
Riconosciamo subito il limite notevole, quindi
$lim_(t-> +oo) [(1+1/t)^t]^(1/2)=e^(1/2)$
Possiamo generalizzare facilmente, immaginando che al posto di $2$ ci sia un numero $alpha$ qualsiasi ma diverso da $0$.
$lim_(xto +oo) (1+1/(alphax))^x=e^(1/alpha)$
Lo svolgimento lo lasciamo al lettore, che deve ragionare come prima, quinid moltiplicando al momento opportuno l’esponente per $alpha/alpha$.
- Esercizi sui Limiti