Limiti notevoli e teorema di de l'Hopital $\lim_{x \to 0} \frac{e - (1 + x)^{\frac{1}{x}}}{x}$

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$lim_{x to 0} frac{e – (1 + x)^{frac{1}{x}}}{x}$

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Il limite proposto si presenta sotto la forma $frac{0}{0}$. Dalla definizione di logaritmo $t = e^{ln(t)}$ per ogni $t>0$, pertanto il limite si può riscrivere nel seguente modo

 

 

$lim_{x to 0} frac{e – e^{ln(1+x)^{frac{1}{x}}}}{x}$

 

Raccogliendo al numeratore un fattore $-e$ si ottiene

 

$lim_{x to 0} (-e) frac{e^{ln(1+x)^{frac{1}{x}} – 1} – 1}{x}$

 

Moltiplicando e dividendo per $ln(1+x)^{frac{1}{x}} – 1$ si ottiene

 

$lim_{x to 0} (-e) frac{e^{ln(1+x)^{frac{1}{x}} – 1} – 1}{ln(1 + x)^{frac{1}{x}} – 1} cdot frac{ln(1 + x)^{frac{1}{x}} – 1}{x} =$

$= lim_{x to 0} (-e) frac{e^{ln(1+x)^{frac{1}{x}} – 1} – 1}{ln(1 + x)^{frac{1}{x}} – 1} cdot frac{frac{1}{x} ln(1 + x) – 1}{x} =$

$=lim_{x to 0} (-e) frac{e^{ln(1+x)^{frac{1}{x}} – 1} – 1}{ln(1 + x)^{frac{1}{x}} – 1} cdot frac{ln(1 + x) – x}{x^2}$

 

Conviene calcolare

 

$lim_{x to 0} frac{ln(1 + x) – x}{x^2}$

 

utilizzando il teorema di de l'Hopital. Derivando a numeratore e denominatore si ottiene

 

$lim_{x to 0} frac{frac{1}{1 + x} – 1}{2x} = lim_{x to 0} frac{1 – x – 1}{2x(x + 1)} = lim_{x to 0} frac{-x}{2x(x + 1)} = lim_{x to 0} frac{-1}{2(x + 1)} = – frac{1}{2}$

 

Ricordando il limite notevole

 

$lim_{t to 0} frac{e^t – 1}{t} = 1$

 

e osservando che per $x to 0$ risulta $ln(1 + x)^{frac{1}{x}} – 1 to 0$, allora

 

$lim_{x to 0} frac{e^{ln(1+x)^{frac{1}{x}} – 1} – 1}{ln(1 + x)^{frac{1}{x}} – 1} = 1$

 

pertanto

 

$lim_{x to 0} (-e) frac{e^{ln(1+x)^{frac{1}{x}} – 1} – 1}{ln(1 + x)^{frac{1}{x}} – 1} cdot frac{ln(1 + x) – x}{x^2} = (-e) cdot 1 cdot (-frac{1}{2}) = frac{e}{2}$

 

FINE