A cura di: Stefano Sannella
Si risolva
$ln(x+1)+ln(x-2)=2ln(x-1)-ln(x^2-1)$
Innanzitutto imponiamo che gli argomenti siano positivi, per l’esistenza del logaritmo
$x+1>0$
$x-2>0$
$x-1>0$
$x^2-1>0$
il risultato che soddisfa tutte le precedenti disequazioni è $x>2$
Ricordiamo alcune fondamentali proprietà dei logaritmi
$log_c(a)+log_c(b)=log_c(ab)$
$log_c(a)-log_c(b)=log_c(a/b)$
$nloga=log(a^n)$
Applicando la prima regola al primo membro, e la terza al primo termine del secondo membro, abbiamo
$ln((x+1)(x-2))=ln(x-1)^2-ln(x^2-1)$
applicando la seconda regola al secondo membro
$ln((x+1)(x-2))=ln((x-1)^2/(x^2-1))$
a questo punto, affinchè i logaritmi dei due membri siano uguali, anche i loro argomenti devono essere tali.
Pertanto
$(x+1)(x-2)=(x-1)^2/(x^2-1)$
che dopo qualche conto restituisce
$x^3-4x-1=0$
Questa equazione non è risolubile usando il classico Ruffini, poichè non è nullo nè $p(1)$ nè $p(-1)$
Ad ogni modo presenta tre soluzioni che riportiamo approssimate
$x_1=2,11…$
$x_2=-0,25…$
$x_3=-1,86…$
Solo $x_1$ è accettabile perchè risulta $x_1>2$
FINE
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