La posizione di una particella che si muove lungo l’asse x è data in cm dalla relazione $$x=9.75+1.50t^{3}$$ dove t è in secondi. Considerando l’intervallo tra t=2.00 s e t = 3.00 s, calcolare la velocità media, la velocità istantanea per t=2.00 s e per t=3.00 s, la velocità istantanea per t=2.50 s e quando la particella si trova a metà strada tra le sue posizioni per t=2.00 s e per t=3.00 s.

1°) calcoliamo la distanza percorsa dopo 2 sec: $$xleft(2right)=9.75+1.50cdot2^{3}=21.75, m$ e dopo $3, sec$$ $$xleft(3right)=9.75+1.50cdot3^{3}=50.25, m$$ La velocità media è quindi: [ v_{m}=frac{50,25, cm-21.75, cm}{3, s-2, s}=28.5,frac{cm}{s} ] 2°) per ottenere la velocità istantanea, sostituiamo i valori del tempo nella formula della derivata prima della legge oraria. La derivata prima è $$v=4.50t^{2}$$ [ v_{ist}left(2right)=4.50cdot2^{2}=18,frac{cm}{s} ] 3°) $$v_{ist}left(3right)=4.50cdot3^{2}=40.5,frac{cm}{s}$$ 4°) $$v_{ist}left(2.50right)=4.50cdot2.50^{2}=28.1,frac{cm}{s}$$ 5°) Quando la particella si trova a metà strada è a 50.25-21.75=36 cm. Se, quindi, x=36 cm, sostituendolo nella legge oraria, si ha: [ 3.6=9.75+1.50t^{3} ] da cui si ottiene il valore di t [ t=sqrt[3]{frac{36-9.75}{1.5}}=2.6, s ] la velocità istantanea a t=2.6 s, sarà [ v_{ist}left(2.6right)=4.50cdot2.6^{2}=30.3,frac{cm}{s} ]