Due treni, che viaggiano alla stessa velocità di 30 km/h, sono diretti uno contro l’altro su uno stesso binario rettilineo. Un uccello che vola a 60 km/h decolla dalla testa di un treno quando si trovano alla distanza di 60 km dirigendosi verso l’altro treno. Appena lo ha raggiunto, inverte la rotta fino a ritornare sul primo treno, e così di seguito. Trovare il numero di viaggi che può fare l’uccello da un treno all’altro prima che i due treni si scontrino frontalmente e la distanza totale percorsa dall’uccello.

Soluzione:

Calcoliamo via via i vari tratti che l’uccello percorre. Treno e volatile si muovono di moto rettilineo uniforme nello stesso verso e per completare i 60 km si avrà: $$60, km=60,frac{km}{h}cdot t+30,frac{km}{h}cdot t$$ da ciò si ricava che $$t=frac{2}{3}h$$ In un tale tempo i due treni percorrono entrambi 20 km. La distanza che li separa, quando l’uccello inverte il proprio volo, sarà (60 −?40) km = 20 km.
In questo secondo tratto, ripetendo il ragionamento, si avrà $$20, km=90,frac{km}{h}cdot t$$ i due treni si avvicineranno di altri $$frac{40}{3}km$$ La nuova distanza che li separa è ora di $$20, km-frac{40}{3}=frac{20}{3}, km$$ Tale processo di avvicinamento, dal punto di vista matematico, prosegue all’infinito (i numeri coinvolti sono divenuti pure periodici)
(b) la somma di queste distanze successive sarà $$sum_{i}d_{i}=60, km$$

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